Глоссарий

Ряд натуральных чисел

Сколько дней осталось до конца каникул? Сколько друзей вы пригласите на свой день рождения? Сколько предметов вы изучаете в этом учебном году? Чтобы ответить на эти вопросы необходимо уметь считать.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т.д., используемые при счете предметов, называют натуральными.

Например, числа 1, 3, 24, 60, 365, 1 000 000 − натуральные числа.

Заметьте, что не все числа, которыми вы пользуетесь, − натуральные. Так, числа 0, 

$\frac{1}{2}$
,  
$\frac{2}{3}$
натуральными не являются.

Все натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют ряд натуральных чисел (или натуральный ряд).

Первым числом натурального ряда является число 1, вторым  − число 2, третьим − число 3 и т.д.

Читать дальше →

Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

Как здания строят из кирпичей, а слова складывают из букв, так натуральные числа записывают с помощью специальных знаков, которые называют цифрами. Этих цифр десять:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Натуральные числа, записанные одной цифрой, называют однозначными, двумя цифрами − двузначными, тремя цифрами − трехзначными и т.д. Все числа, кроме однозначных, называют многозначными. Многозначное число может начинаться с любой цифры, кроме цифр 0.

Читать дальше →

Как считали в старину

В местах обитания первобытного человека археологи находят предметы с выбитыми точками, нацарапанными черточками, глубокими зарубками. Эти находки позволяют предположить, что уже в каменном веке люди умели не только считать, но и фиксировать результаты своих подсчетов.

С развитием общества совершенствовались и способы счета. Ведь такие примитивные приемы, как зарубки на палке, узлы на веревке или камешки, сложенные в кучки, не могли удовлетворить потребности торговли и производства.

Приблизительно за 3 000 лет до нашей эры было сделано важнейшее открытие: люди изобрели специальные знаки для обозначения некоторого количества предметов. Например, египтяне десяток обозначали знаком , сотню − . Так, число 123 записывалось следующим образом:

⊂∩∩|||.

Читать дальше →

Отрезок. Длина отрезка

Если вы хорошо заточенным карандашом прикоснетесь к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (рис. 3).

Отметим на листе бумаги две точки A и B. Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4). А как соединить точки A и B самой короткой линией? Это можно сделать с помощь линейки (рис. 5). Полученную линию называют отрезком

Точка и отрезок − примеры геометрических фигур.

Точки A и B называют концами отрезка.

Читать дальше →

Плоскость. Прямая. Луч.

Размеры тетради не позволяют строить отрезки большой длины. А вообразите себе, что тетрадный лист вырос до размеров стола, теннисного корта, даже футбольного поля. Такой лист является примером, или как еще принято говорить, моделью части плоскости.

Плоскость бесконечна, поэтому ее нельзя отобразить. Эту геометрическую фигуру можно вообразить.

Теперь понятно, что на плоскости можно начертить отрезок очень большой длины. Более того, любой отрезок с помощь линейки можно продлить в обе стороны. Мысленно это можно сделать неограниченно, и тогда мы получим фигуру, которую называют прямой.

Прямая не имеет концов. Она бесконечна. Поэтому на рисунке мы изображаем только часть прямой − отрезок.

Отметим на листе бумаги две точки A и B. Проведем через них прямую (рис. 36 a). Если попытаемся провести через эти точки еще одну прямую, то нам это не удастся.

Через две точки проходит только одна прямая.

Читать дальше →

Шкала. Координатный луч

С помощью ровной деревянной рейки две точки A и B можно соединить отрезком (рис. 46). Однако этим примитивным инструментом измерить длину отрезка AB не удастся. Его можно усовершенствовать.

На рейке через каждый сантиметр нанесем штрихи. Под первым штрихом нанесем число 0, под вторым − 1, третьим − 2 и т.д. (рис. 47). В таких случаях говорят, что на рейку нанесена шкала с ценой деления 1 см. Эта рейка со школой похожа на линейку. Но чаще всего на линейку наносят шкалу с ценой деления 1 мм (рис. 48).

Читать дальше →

Сравнение натуральных чисел

 Сравнить два различных натуральных числа − это значит определить, какое из них больше, а какое − меньше.

Из двух натуральных чисел меньшим является то, которое в натуральном ряду стоит раньше, а бОльшим − то, которое в натуральном ряду стоит позже. Поэтому, например, число 5 меньше числа 7, а число 171 больше числа 19. Результаты сравнения записывают с помощью знаков < (меньше) и > (больше): 5 < 7 и 171 > 19. Такие записи называют неравенствами.

Число 0 меньше любого натурального числа. Например, 0 < 12.

Сравнивать можно одновременно и три числа. Например, число 17 больше 15, но меньше 20. Это записывают так: 15 < 17 < 20. Такую запись называют двойным неравенством. Часто слово "двойное" опускают, называя двойное неравенство неравенством. 

Натуральные числа можно сравнивать, не обращаясь к натуральному ряду.

Сравнивать многозначные числа, имеющие разное количество чисел, легко.

 

Читать дальше →

Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Чтобы сложить числа 5 и 2, можно к числу 5 прибавить 1 и к полученному числу 6 еще раз прибавить 1. Имеем: 5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 6 + 1 = 7. Но так вы складывали числа, когда учились в начальной школе. Сейчас, вы не задумываясь, по памяти пишите: 2 + 7 = 9, 6 + 3 = 9, 2 + 8 = 10, 8 + 7 = 15 и т.д., т.е. знаете наизусть таблицу сложения однозначных чисел.

Почему удобно складывать многозначные числа в столбик? Сложим, например, числа 3 853 164 и 2 700 503.

 При таом поразрядном сложении вычисления приходится проводить только с однозначными числами, что не вызывает затруднений.

Напомним, что в равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемыми, число с и запись a + b − суммой. Здесь буквами обозначены числа.

Вам хорошо известно переместительное свойство сложения.

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В буквенном виде это свойство записывают так:

 

Читать дальше →

Вычитание натуральных чисел

Действия вычитания определяют, используя действие сложения. Например, вычесть из числа 17 число 5 − это означает найти такое число, которое в сумме с числом 5 дает число 17. Поскольку 5 + 12 = 17, то 175 = 12.

Вообще, равенство a − b = c верно, если верно равенство b + c = a.

Рассмотрим еще несколько примеров:

17389 = 84, так как 89 + 84 = 173;

2 368572 = 1 796, так как 572 + 1 796 = 2 368.

Напомним, что в равенстве a − b = c число a называют уменьшаемым, число b − вычитаемым, число c и запись a − b − разностью.

Разность a − b показывает, на сколько число a больше числа b или на сколько число b меньше числа a.

При вычитании число 0 обладает особым свойством. Если вычитаемое равно нулю, то разность равна уменьшаемому: 

Читать дальше →

Числовые и буквенные выражения. Формулы

Как найти периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и 5 см (рис. 67)?

Отвечая на этот вопрос, вы можете сделать такую запись: 2 * 3 + 2 * 5.

Такая запись представляет собой числовое выражение.

Приведем еще несколько примеров числовых выражений: 12 : 41, (5 + 17) + 11, (197) * 3. Эти выражения составлены из чисел, знаков арифметических действия и скобок.

Заметим, что не всякая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действия и скобок является числовым выражением. Например, запись +) +3 − (2 представляет собой бессмысленный набор символов.

 

Читать дальше →

Уравнение

Рассмотрим такую задачу. На остановке из автобуса вышло 6 пассажиров, а зашло 10. После этого в автобусе оказалось 40 пассажиров. Сколько пассажиров находилось в автобусе до его остановки?

Если обозначить искомое число пассажиров буквой x, то наша задача сводится к следующей: каким числом нужно заменить x, что значение буквенного выражения (x − 6) + 10 стало равным 40?

В таких случаях говорят, что надо решить уравнение (x − 6) + 10 = 40.

Если в это уравнение вместо буквы x подставить число 36, то получим верное числовое равенство (366) + 10 = 40. Говорят, что число 36корень уравнения (x − 6) + 10 = 40.

Корнем уравения называют число, которое при подстановке...

Читать дальше →

Угол. Обозначение углов

Проведем на листе бумаги два луча BA и BC с общим началом в точке B (рис. 69).

Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало − вершиной угла.

На рисунке 69 лучи BA и BC − стороны угла, а точка B − вершина угла.

 

Читать дальше →

Виды углов. Измерение углов

На каждом из рисунков 82, a − г изображены два луча. На каком из рисунков пара лучей образует угол, сторонами которого являются эти лучи?

Поскольку на рисунках 82, а − в начала лучей не совпадают, то они не могут служить сторонами угла. Лучи на рисунке 82, г образуют прямую. При этом начала лучей совпадают, а следовательно, они образуют угол. Такой угол называют развернутым.

 

Читать дальше →

Многоугольники. Равные фигуры

На рисунках 102 и 103 изображены три фигуры, каждая из которых ограничена замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев AB, BC, CD, DA.

Чем отличаются границы фигур на рисунке 102 от границы фигуры на рисунке 103? На рисунке 102 звенья ломаных не пересекаются.

Фигуры, изображенные на рисунке 102, называют ...

 

Читать дальше →

Треугольник и его виды

Из всех многоугольников треугольники имеют наименьшее количество углов и сторон.

Треугольники можно различать по виду их углов.

Есди все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником (рис. 113, а).

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником (рис. 113, б).

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником (рис. 113, в).

 

Читать дальше →

Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

На рисунке 125 изображен прямоугольник ABCD.

Стороны AB и BC имеют общую вершину B. Их называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними являются, например, стороны BC и CD.

Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной.

Стороны AB и CD не имеют общих вершин. Их называют противоположными сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими являются стороны BC и AD.

Читать дальше →

Умножение. Переместительное свойство умножения

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 140). Как подсчитать количество этих квадратов?

Можно, например, рассуждать так. Прямоугольник разделен на три ряда, в каждом из которых есть пять квадратов. Поэтому искомое число равно 5 + 5 + 5 = 15. В левой части записанного равенства стоит сумма равных слагаемых. Как вы знаете, такую сумму записывают с помощью произведения 5 * 3. Имеем: 5 * 3 = 15.

Читать дальше →

Сочетательное и распределительное свойства умножения

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3. Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3) * 4.

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4). 

 

Читать дальше →

Деление

Действие деления определяют с помощью действия умножения. Например, разделить число 51 на 17 − значит найти такое число, которое при умножении на 17 дает число 51. Имеем: 17 * 3 = 51, поэтому 51 : 17 = 3.

Вообще, для натуральных чисел a, b и c равенство a : b = c верно, если верно равенство b * c = a.

Рассмотрим еще несколько примеров:

168 : 12 = 14, так как 12 * 14 = 168;

1197 : 21 = 57, так как 21 * 57 = 1197.

В равенстве a : b = c число a называют делимым, число b − делителем, число c и запись a : b − частным.

 

Читать дальше →

Деление с остатком

Как разделить число 20 на число 6? Ответ на этот вопрос можно получить, решив следующую задачу. Как разделить поровну 20 конфет между шестерыми друзьями?

Скорее всего, каждому достанется по 3 конфеты, но при этом 2 конфеты останутся.

Такое распределение конфет иллюстрирует следующее равенство: 20 = 6 * 3 + 2.

Заметим, что ...

Читать дальше →

Степень числа

Как вы знаете, с помощью произведения удобно записывать сумму нескольких равных слагаемых.

Например, 7 + 7 + 7 + 7 = 7 * 4.

В математике придумали способ коротко записывать произведение, в котором все множители равны.

Например, 7 * 7 * 7 * 7 = 74.

Выражение 74 называют степенью...

Читать дальше →

Площадь. Площадь прямоугольника

Фигуры на рисунке 146, а и б равны, так как они совпадают при наложении.

Очевидно, что фигуры на рисунке 146, а и в не равны. Однако каждая из них состоит из семи квадратов со стороной 1 см.

Про такие фигуры говорят, что их площади равны.

С такой величиной, как площадь, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: площадь квартиры, площадь дачного участка, площадь поля и т.п.

Читать дальше →

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

Когда вы были маленькими и играли кубиками, то, возможно, складывали фигуры, изображенные на рисунке 154. Эти фигуры дают представление о прямоугольном параллелепипеде. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок, упаковочный ящик, пакет сока.

Читать дальше →

Объем прямоугольного параллелепипеда

Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.

С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.

 

Читать дальше →

Комбинаторные задачи

Предположим, что вы не можете вспомнить последнюю цифру телефона своего друга. Какое наибольшее количество номеров придется набрать, чтобы ему дозвониться?

Поскольку в конце телефонного номера может стоять любая из десяти цифр, то вам в худшем случае придется сделать десять попыток, тем самым перебрав все возможные варианты.

Нередко в повседневной жизни мы встречаемся с задачами, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных комбинаций. Поэтому такие задачи ...

 

 

Читать дальше →

Понятие обыкновенной дроби

Вы знаете, что, кроме натуральных чисел и нуля, существуют и другие числа − дробные.

Дробные числа возникают, когда один предмет (яблоко, арбуз, торт, буханку хлеба, лист бумаги) или единицу измерения (метр, час, килограмм, градус) делят на несколько равных частей.

Такие слова, как "полхлеба", "полбатона", "полкилограмма", "пол−литра", "четверть часа", "треть пути", "полтора метра", наверное, вы слышите каждый день.

Половина, четверть, треть, одна сотая, полтора − это примеры дробных чисел.

Рассмотрим пример.

Читать дальше →

Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

Может ли числитель дроби быть равным ее знаменателю? Да, может. Действительно, на рисунке 195 прямоугольник разделили на 7 равных частей и все части закрасили. Следовательно, закрашенными оказались 

$\frac{7}{7}$
прямоугольника, т.е. весь прямоугольник. Значит, 
$\frac{7}{7}$
  прямоугольника равны 1 прямоугольнику, т.е. 
$\frac{7}{7}$
= 1.

Рассуждая аналогично, получим, что, например, 

$\frac{5}{5}$
$\frac{17}{17}$
= 1.

Если числитель ...

Читать дальше →

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Дробные числа, как и натуральные числа, можно складывать и вычитать.

На рисунке 201 прямоугольника разделен на 9 равных частей. Сначала закрасили 2 части, а потом еще 5 частей. Таким образом, закрашенными оказались 

$\frac{7}{9}$
прямоугольника. Тогда можно сделать вывод, что:

$\frac{2}{9}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{2 + 5}{9}$
  = 
$\frac{7}{9}$
.

Этот пример иллюстрирует следующее правило.

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями...

 

Читать дальше →

Дроби и деление натуральных чисел

Можно ли  число 3 разделить на 4? Казалось бы нельзя. Тогда получается, что если четыре кладоискателя найдут три мешка с золотом, то они не смогут разделить клад? Конечно смогут! Например, можно поступить так: разделить каждый мешок на четыре одинаковых маленьких мешка. Тогда каждый кладоискатель возьмет себе три маленьких мешка с золотом (рис. 202). Значит, любому из них достанется 

$\frac{3}{4}$
большого мешка...

Читать дальше →

Смешанные числа

Число 

$\frac{19}{7}$
можно представить в виде суммы двух дробей, например так: 
$\frac{19}{7} = \frac{14 + 5}{7} = \frac{14}{7} + \frac{5}{7}$
. Поскольку 
$\frac{14}{7} = 2$
, то 
$\frac{19}{7} = 2 + \frac{5}{7}$
.

Аналогично можно записать:

$\frac{21}{5} = \frac{20 + 1}{5} = \frac{20}{5} + \frac{1}{5} = 4 + \frac{1}{5}$
.

каждую из неправильных дробей 

$\frac{19}{7}$
и 
$\frac{21}{5}$
мы записали в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Так можно записать любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель.

Такие суммы, как

$2 + \frac{5}{7}$
, 4 +
$\frac{1}{5}$
, принято записывать так:
$2\frac{5}{7}$
4 +
$\frac{1}{5}$
=
$4\frac{1}{5}$
. Число 
$2\frac{5}{7}$
читают: "две целых пять седьмых", число 
$4\frac{1}{5}$
читают: "четыре целых одна пятая"...

 

Читать дальше →

Представление о десятичных дробях

Наверное, вы замечали, что в повседневной жизни нередко приходится встречаться с величинами, отличающимися одна от другой в 10, 100, 1000, 10000 и т.д. раз. Например, 1 мм = 

$\frac{1}{10}$
см, 1 коп. = 
$\frac{1}{100}$
р., 1 г = 
$\frac{1}{1000}$
кг, 1 м2
$\frac{1}{10000}$
га.

Для записанных дробей придумали более удобную, "одноэтажную" форму записи:

Эту запись удобно использовать для всех дробей, у которых знаменатели равны ...

Читать дальше →

Сравнение десятичных дробей

Какое из чисел больше: 5,3 или 4,988? Конечно, первое число больше второго. И это понятно, ведь целая часть первой дроби, число 5, больше целой части второй дроби, числа 4.

Из двух десятичных дробей броьше та, у которой целая часть больше.

А как сравнивать дроби с равными целыми частями? В этом случае вначале сравнивают десятые. Например, 11,23 > 11,19, так как 2 > 1. Если же десятые оказались равными, то ...

Читать дальше →

Округление чисел. Прикидки

Пусть ширина земельного участка прямоугольной формы равна 17 м, а длина − 36 м. Тогда его площадь равна 612 м2, или 6,12 сотки.

Однако в повседневной жизни говорят, что площадь этого участка приблизительно равна 6 соткам.

В таких случаях число 6 называют приближенным значением числа 6,12 и говорят, что число 6,12 округлили до числа 6. Записывают 6,12 = 6 (читают: "6,12 приближенно равно 6").

Земельный участок ...

Читать дальше →

Сложение и вычитание десятичных дробей

Вы уже умеете складывать обыкновенные дроби с равными знаменателями. Научимся складывать десятичные дроби. Найдем сумму 2,374 + 1,725. Обратив эти дроби в обыкновенные, получаем:

$2,374 + 1,725 = 2\frac{374}{1000} + 1\frac{725}{1000} = 3 + \frac{374 + 725}{1000} = 3 + \frac{1099}{1000} = 3 + 1\frac{99}{1000} = 4\frac{99}{1000} = 4,099$

Однако складывать десятичные дроби можно гораздо проще, не обращая их в обыкновенные. 

Сходство способов записи ...

Читать дальше →

Умножение десятичных дробей

Вы уже знаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Например, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Несложно догадаться, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2.

Аналогично можно убедиться, что:

5,2 * 10 = 52;

0,27 * 10 = 2,7;

1,253 * 10 = 12,53;

64,95 * 10 = 649,5.

 Вы, наверное, догадались, что при умножении десятичной дроби на 10 надо в этой дроби перенести запятую вправо на ...

Читать дальше →

Деление натуральных дробей

Вы знаете, что разделить натуральное число a на натуральное число b − значит найти такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это утверждение остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.

Рассмотрим несколько примеров, в которых делителем является натуральное число.

1,2 : 4 = 0,3, так как 0,3 * 4 = 1,2;

2,5 : 5 = 0,5, так как 0,5 * 5 = 2,5;

1 : 2 = 0,5, так как 0,5 * 2 = 1.

А как быть в тех случаях, когда деление ...

Читать дальше →

Среднее арифметическое. Среднее значение величины

Рассмотрим такой пример. Пусть сумма возрастов 11 игроков одной футбольной команды равна 22 годам. Заметим, что 242 : 11 = 22. Означает ли это, что все футболисты в команде обязательно одногодки и каждому из них 22 года? Конечно нет. В команде огут быть футболисты, возраст которых как больше, так и меньше 22 лет. В таких случаях говорят, что средний возраст футболиста команды равен 22 годам. Это число получили как частное от деления суммы возрастов всех футболистов на их количество.

Средним арифметическим ...

Читать дальше →

Проценты. Нахождения процентов от числа

На практике люди часто пользуются сотыми частями величин. Например, сотая часть гектара − 1 ар (1 сотка), сотая часть века − 1 год, сотая часть рубля − 1 копейка, сотая часть метра − 1 сантиметр.

Для сотой части величины или числа придумали специальное название − один процент (от лат. pro centum − "на сто") и обозначение − 1 %.

Чтобы найти 1 % ...

Читать дальше →

Нахождение числа по его процентам

Пример 1. В сливочном мороженом содержится 14 % сахара. Сколько килограммов мороженого изготовили, если при этом использовали 49 кг сахара?

Решение.

1) 49 : 14 = 3,5 (кг) − составляют 1 % всей массы мороженого.

2) 3,5 * 100 = 350 (кг) − изготовили мороженого.

Ответ: ...

Читать дальше →