Действие деления определяют с помощью действия умножения. Например, разделить число 51 на 17 − значит найти такое число, которое при умножении на 17 дает число 51. Имеем: 17 * 3 = 51, поэтому 51 : 17 = 3.
Вообще, для натуральных чисел a, b и c равенство a : b = c верно, если верно равенство b * c = a.
Рассмотрим еще несколько примеров:
168 : 12 = 14, так как 12 * 14 = 168;
1197 : 21 = 57, так как 21 * 57 = 1197.
В равенстве a : b = c число a называют делимым, число b − делителем, число c и запись a : b − частным.
Частное a : b показывает, во сколько раз число a больше числа b или во сколько раз число b меньше числа a.
Можно ли, например, вычислить частное 11 : 0? Если предположить, что такое частное существует и равно некоторому числу c, то должно выполняться равенство 0 * c = 11, но на самом деле 0 * c = 0. Следовательно, вычислить частное 11 : 0 нельзя.
А можно ли вычислить частное 0 : 0? Пусть 0 : 0 = c. Тогда 0 * c = 0. Такое равенство справедливо при любом c. А это означает, что значением числового выражения 0 : 0 может быть любое число, т.е. такое частное вычислить нельзя.
Вывод: на нуль делить нельзя.
Вместе с тем поскольку a * 0 = 0, то для любого натурального числа a верно равенство:
0 : a = 0
Также для любого натурального числа a верны равенства:
a : a = 1,
a : 1 = a.
Эти равенства легко проверить с помощью умножения. Убедитесь в этом самостоятельно.
Вы умеете письменно делить (уголком многозначное число) на двузначное. Аналогично выполняется деление любых многозначных чисел.
Например:
Рассмотрим задачи, в решении которых используется действие деления.
Пример 1. Решите уравнение 12x = 84.
Решение. Применим правило нахождения неизвестного множителя:
чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Имеем: x = 84 : 12;
x = 7.
Ответ: 7.
Пример 2. Решите уравнение x : 21 = 16.
Решение. Применим правило нахождения неизвестного делимого:
чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
Имеем: x = 21 * 16;
x = 336.
Ответ: 336.
Пример 3. Решите уравнение 576 : x = 18.
Решение. Применим правило нахождения неизвестного делителя:
чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
Имеем: x = 576 : 18;
x = 32.
Ответ: 32.
Пример 4. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пристанями, равное 64 км, против течения реки за 8 ч. За сколько часов она пройдет это расстояние по течению реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?
Решение:
1) 64 : 18 = 8 (км/ч) − скорость моторной лодки против течения.
2) 8 + 4 = 12 (км/ч) − собственная скорость моторной лодки.
3) 12 + 4 = 16 (км/ч) − скорость моторной лодки по течению.
4) 64 : 16 = 4 (ч) − время движения по течению.
Ответ: 4 ч.
Пример 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно 588 км, выехали навстречу друг другу два автомобиля, которые встретились через 6 ч после начала движения. Скорость одного из автомобилей составляла 46 км/ч. Найдите скорость второго автомобиля.
Решение.
1) 588 : 6 = 98 (км) − на столько уменьшается расстояние между автомобилями каждый час.
2) 98 − 46 = 52 (км/ч) − скорость второго автомобиля.
Ответ: 52 км/ч.
Пример 6. Расстояние между двумя селами равно 24 км. Из этих сел одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Впереди двигался пешеход. Через сколько часов после начала движения велосипедист догонит пешехода, если пешеход шел со скоростью 4 км/ч, а велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч?
Решение.
1) 12 − 4 = 8 (км) − на столько уменьшается расстояние между велосипедистом и пешеходом каждый час.
2) 24 : 8 = 3 (ч) − время, за которое велосипедист догонит пешехода.
Ответ: 3 ч.
Пример 7. Ваня решил в 3 раза больше задач по алгебре, чем по геометрии. Сколько задач по геометрии решил Ваня, если известно, что их было на 18 меньше, чем задач по алгебре?
Решение. Пусть Ваня решил x задач по геометрии, тогда по алгебре он решил 3x задач. Поскольку по условию задачи x на 18 меньше, чем 3x, то 3x − x = 18.
Тогда 2x = 18.
Отсюда x = 18 : 2;
x = 9.
Ответ 9 задач.
Пример 8. Фермеры Гречуха, Медовый и Запашный собрали на своих полях 600 кг клубники. Медовый собрал в 2 раза больше, чем Гречуха, а Запашный − на 128 кг больше, чем Гречуха. Сколько килограммов клубники собрал каждый фермер?
Решение. Пусть Гречуха собрал x кг клубники, тогда Медовый собрал 2x кг, а Запашный − (x + 128) кг. Поскольку вместе они собрали 600 кг, то составим уравнение:
x + 2x + x + 128 = 600.
Тогда
4x + 128 = 600;
4x = 600 − 128;
4x = 472;
x = 472 : 4;
x = 118.
Итак, Гречуха собрал 118 кг клубники,
Медовый собрал 2 * 118 = 236 (кг),
а Запашный собрал 118 + 128 = 246 (кг).
Ответ: 118 кг, 236 кг, 246 кг.
