Деление



Действие деления определяют с помощью действия умножения. Например, разделить число 51 на 17 − значит найти такое число, которое при умножении на 17 дает число 51. Имеем: 17 * 3 = 51, поэтому 51 : 17 = 3.

Вообще, для натуральных чисел a, b и c равенство a : b = c верно, если верно равенство b * c = a.

Рассмотрим еще несколько примеров:

168 : 12 = 14, так как 12 * 14 = 168;

1197 : 21 = 57, так как 21 * 57 = 1197.

В равенстве a : b = c число a называют делимым, число b − делителем, число c и запись a : b − частным.

Частное a : b показывает, во сколько раз число a больше числа b или во сколько раз число b меньше числа a.

Можно ли, например, вычислить частное 11 : 0? Если предположить, что такое частное существует и равно некоторому числу c, то должно выполняться равенство 0 * c = 11, но на самом деле 0 * c = 0. Следовательно, вычислить частное 11 : 0 нельзя.

А можно ли вычислить частное 0 : 0? Пусть 0 : 0 = c. Тогда 0 * c  = 0. Такое равенство справедливо при любом c. А это означает, что значением числового выражения 0 : 0 может быть любое число, т.е. такое частное вычислить нельзя.

Вывод: на нуль делить нельзя.

Вместе с тем поскольку a * 0 = 0, то для любого натурального числа a верно равенство:

0 : a = 0

Также для любого натурального числа a верны равенства:

a : a = 1,

a : 1 = a.

Эти равенства легко проверить с помощью умножения. Убедитесь в этом самостоятельно.

Вы умеете письменно делить (уголком многозначное число) на двузначное. Аналогично выполняется деление любых многозначных чисел.

Например:

Деление многозначных чисел в столбик

Рассмотрим задачи, в решении которых используется действие деления.

Пример 1. Решите уравнение 12x = 84.

Решение. Применим правило нахождения неизвестного множителя:

чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Имеем: x = 84 : 12;

x = 7.

Ответ: 7.

Пример 2. Решите уравнение x : 21 = 16.

Решение. Применим правило нахождения неизвестного делимого:

чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

Имеем: x = 21 * 16;

x = 336.

Ответ: 336.

Пример 3. Решите уравнение 576 : x = 18.

Решение. Применим правило нахождения неизвестного делителя:

чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Имеем: x = 576 : 18;

x = 32.

Ответ: 32.

Пример 4. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пристанями, равное 64 км, против течения реки за 8 ч. За сколько часов она пройдет это расстояние по течению реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?

Решение:

1) 64 : 18 = 8 (км/ч) − скорость моторной лодки против течения.

2) 8 + 4 = 12 (км/ч) − собственная скорость моторной лодки.

3) 12 + 4 = 16 (км/ч) − скорость моторной лодки по течению.

4) 64 : 16 = 4 (ч) − время движения по течению.

Ответ: 4 ч.

Пример 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно 588 км, выехали навстречу друг другу два автомобиля, которые встретились через 6 ч после начала движения. Скорость одного из автомобилей составляла 46 км/ч. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение.

1) 588 : 6 = 98 (км) − на столько уменьшается расстояние между автомобилями каждый час.

2) 9846 = 52 (км/ч) − скорость второго автомобиля.

Ответ: 52 км/ч.

Пример 6. Расстояние между двумя селами равно 24 км. Из этих сел одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Впереди двигался пешеход. Через сколько часов после начала движения велосипедист догонит пешехода, если пешеход шел со скоростью 4 км/ч, а велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч?

Решение.

1) 124 = 8 (км) − на столько уменьшается расстояние между велосипедистом и пешеходом каждый час.

2) 24 : 8 = 3 (ч) − время, за которое велосипедист догонит пешехода.

Ответ: 3 ч.

Пример 7. Ваня решил в 3 раза больше задач по алгебре, чем по геометрии. Сколько задач по геометрии решил Ваня, если известно, что их было на 18 меньше, чем задач по алгебре?

Решение. Пусть Ваня решил x задач по геометрии, тогда по алгебре он решил 3x задач. Поскольку по условию задачи x на 18 меньше, чем 3x, то 3x − x = 18.

Тогда 2x = 18.

Отсюда x = 18 : 2;

x = 9.

Ответ 9 задач.

Пример 8. Фермеры Гречуха, Медовый и Запашный собрали на своих полях 600 кг клубники. Медовый собрал в 2 раза больше, чем Гречуха, а Запашный − на 128 кг больше, чем Гречуха. Сколько килограммов клубники собрал каждый фермер?

Решение. Пусть Гречуха собрал x кг клубники, тогда Медовый собрал 2x кг, а Запашный − (x + 128) кг. Поскольку вместе они собрали 600 кг, то составим уравнение:

x + 2x + x + 128 = 600.

Тогда

4x + 128 = 600;

4x = 600128;

4x = 472;

x = 472 : 4;

x = 118.

Итак, Гречуха собрал 118 кг клубники,

Медовый собрал 2 * 118 = 236 (кг),

а Запашный собрал 118 + 128 = 246 (кг).

Ответ: 118 кг, 236 кг, 246 кг.