Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 140). Как подсчитать количество этих квадратов?
Можно, например, рассуждать так. Прямоугольник разделен на три ряда, в кажом из которых есть пять квадратов. Поэтому искомое число равно 5 + 5 + 5 = 15. В левой части записанного равенства стоит сумма равных слагаемых. Как вы знаете, такую сумму записывают с помощью произведения 5 * 3. Имеем: 5 * 3 = 15.
В равенстве a * b = c числа a и b называют множителями, а число c и запись a * b − произведением.
Итак, 5 * 3 = 5 + 5 + 5.
Аналогично:
3 * 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3;
7 * 4 = 7 + 7 + 7 + 7;
1 * 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
0 * 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.
В буквенном виде записывают так:
$$ a * b = \underbrace{a + a + a + ... + a}_{b-слагаемых} $$
Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называт сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.
А если b = 1? Тогда придется рассматривать сумму, состоящую из одного слагаемого. А это в математике не принято. Поэтому договорились, что:
a * 1 = a.
Если b = 0, то договрились считать, что:
a * 0 = 0.
В частности,
0 * 0 = 0.
Рассмотрим произведения 1 * a и 0 * a, где a − натуральное число, отличное от 1.
Имеем:
$$ 1 * a = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{a-слагаемых} = a, $$
$$ 0 * a = \underbrace{0 + 0 + 0 + ... + 0}_{a-слагаемых} = 0. $$
Теперь можно сделать следующие выводы.
Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:
a * 1 = 1 * a = a
Если один из двух множителей равен нулю, то произведение равно нулю:
a * 0 = 0 * a = 0
Произведение двух чисел, отличных от нуля, нулем быть не может.
Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
Количество квадратов на рисунке 140 мы подсчитали так:
5 + 5 + 5 = 5 * 3 = 15. Однако этот полсчет можно было сделать и другим способом. Прямоугольник разделен на пять столбцов, в каждом из которых есть три квадрата. Поэтому исомое число квадратов равно
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5 = 15.
Подсчет квадратов на рисунке 140 двумя способами иллюстрирует переместительное свойство умножения.
От перестановки множителей произведение не меняется.
Это свойство в буквенном виде записывают так:
ab = ba
Вы умеете письменно умножать (в столбик) многозначное число на двузначное. Аналогично выполняют умножение любых двух многозначных чисел.
Например:
Этот способ удобен тем, что устно умножать приходится только однозначные числа.
Рассмотрим задачи, в решении которых используют действие умножения.
Пример 1. В саду росли вишни, яблони и груши. Вишен было 24 дерева, что в 6 раз меньше, чем яблонь, и на 18 деревьев меньше, чем груш. Сколько всего деревьев росло в саду?
Решение:
1) 24 * 6 = 144 (дерева) − составляли яблони.
2) 24 + 18 = 42 (дерева) − составляли груши.
3) 24 + 144 + 42 = 210 (деревьев) − росло в саду.
Ответ: 210 деревьев.
Пример 2. Из одного города одновременно в одном направлении выехали грузовик со скоростью 48 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 64 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после начала движения?
Решение:
1) 64 − 48 = 16 (км) − на столько увеличивается расстояние между автомобилями каждый час.
2) 16 * 3 = 48 (км) − расстояние между автомобилями через 3 ч.
Ответ: 48 км.
Пример 3. Из одного села в противоположных направления одновременно отправились всадник со скоростью 14 км/ч и пешеход со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 ч после начала движения?
Решение:
1) 14 + 4 = 18 (км) − на столько увеличивается расстояние между всадником и пешеходом каждый час.
2) 18 * 4 = 72 (км) − расстояние между всадником и пешеходом через 4 ч.
Ответ: 72 км.
Пример 4. От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два катера, которые встретились через 5 ч после начала двиения. Один из катеров двигался со скроростью 28 км/ч, а второй − 36 км/ч. Найдите расстояние между пристанями.
Решение:
1) 28 + 36 = 64 (км) − на столько сближались катера каждый час.
2) 64 * 5 = 320 (км) − расстояние между пристанями.
Ответ 320 км.
