Умножение. Переместительное свойство умножения



Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 140). Как подсчитать количество этих квадратов?

Переместительное свойство умножения

Можно, например, рассуждать так. Прямоугольник разделен на три ряда, в кажом из которых есть пять квадратов. Поэтому искомое число равно 5 + 5 + 5 = 15. В левой части записанного равенства стоит сумма равных слагаемых. Как вы знаете, такую сумму записывают с помощью произведения 5 * 3. Имеем: 5 * 3 = 15.

В равенстве a * b = c числа a и b называют множителями, а число c и запись a * b − произведением.

Итак, 5 * 3 = 5 + 5 + 5.

Аналогично:

3 * 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3;

7 * 4 = 7 + 7 + 7 + 7;

1 * 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;

0 * 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.

В буквенном виде записывают так:

$$ a * b = \underbrace{a + a + a + ... + a}_{b-слагаемых} $$

Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называт сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.

А если b = 1? Тогда придется рассматривать сумму, состоящую из одного слагаемого. А это в математике не принято. Поэтому договорились, что:

a * 1 = a.

Если b = 0, то договрились считать, что:

a * 00.

В частности,

0 * 0 = 0.

Рассмотрим произведения 1 * a и 0 * a, где a − натуральное число, отличное от 1.

Имеем: 

 

$$ 1 * a = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{a-слагаемых} = a, $$

$$ 0 * a = \underbrace{0 + 0 + 0 + ... + 0}_{a-слагаемых} = 0. $$

Теперь можно сделать следующие выводы.

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:

a * 1 = 1 * a = a

Если один из двух множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

a * 0 = 0 * a = 0

Произведение двух чисел, отличных от нуля, нулем быть не может.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Количество квадратов на рисунке 140 мы подсчитали так:

5 + 5 + 5 = 5 * 3 = 15. Однако этот полсчет можно было сделать и другим способом. Прямоугольник разделен на пять столбцов, в каждом из которых есть три квадрата. Поэтому исомое число квадратов равно

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5 = 15.

Подсчет квадратов на рисунке 140 двумя способами иллюстрирует переместительное свойство умножения.

От перестановки множителей произведение не меняется.

Это свойство в буквенном виде записывают так:

ab = ba

Вы умеете письменно умножать (в столбик) многозначное число на двузначное. Аналогично выполняют умножение любых двух многозначных чисел.

Например:

Умножение многозначных чисел в столбик

Этот способ удобен тем, что устно умножать приходится только однозначные числа.

Рассмотрим задачи, в решении которых используют действие умножения.

Пример 1. В саду росли вишни, яблони и груши. Вишен было 24 дерева, что в 6 раз меньше, чем яблонь, и на 18 деревьев меньше, чем груш. Сколько всего деревьев росло в саду?

Решение:

1) 24 * 6 = 144 (дерева) − составляли яблони.

2) 24 + 18 = 42 (дерева) − составляли груши.

3) 24 + 144 + 42 = 210 (деревьев) − росло в саду.

Ответ: 210 деревьев.

Пример 2. Из одного города одновременно в одном направлении выехали грузовик со скоростью 48 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 64 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после начала движения?

Решение:

1) 6448 = 16 (км) − на столько увеличивается расстояние между автомобилями каждый час.

2) 16 * 3 = 48 (км) − расстояние между автомобилями через 3 ч.

Ответ: 48 км.

Пример 3. Из одного села в противоположных направления одновременно отправились всадник со скоростью 14 км/ч и пешеход со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 ч после начала движения?

Решение:

1) 14 + 4 = 18 (км) − на столько увеличивается расстояние между всадником и пешеходом каждый час.

2) 18 * 4 = 72 (км) − расстояние между всадником и пешеходом через 4 ч.

Ответ: 72 км.

Пример 4. От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два катера, которые встретились через 5 ч после начала двиения. Один из катеров двигался со скроростью 28 км/ч, а второй − 36 км/ч. Найдите расстояние между пристанями.

Решение:

1) 28 + 36 = 64 (км) − на столько сближались катера каждый час.

2) 64 * 5 = 320 (км) − расстояние между пристанями.

Ответ 320 км.