Умножение десятичных дробей



Вы уже знаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Например, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Несложно догадаться, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2.

Аналогично можно убедиться, что:

5,2 * 10 = 52;

0,27 * 10 = 2,7;

1,253 * 10 = 12,53;

64,95 * 10 = 649,5.

 Вы, наверное, догадались, что при умножении десятичной дроби на 10 надо в этой дроби перенести запятую вправо на одну цифру.

А как умножить десятичную дробь на 100?

Имеем: a * 100 = a * 10 * 10. Тогда:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5.

Рассуждая аналогично, получаем, что:

3,2 * 100 = 320;

28,431 * 100 = 2843,1;

0,57964 * 100 = 57,964.

Умножим дробь 7,1212 на число 1 000.

Имеем: 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.

Эти примеры иллюстрируют следующее правило.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры.

Итак, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.

Следовательно, если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.

 Покажем, что десятичная форма записи дробей дет возможность умножать их, руководствуясь правилом умножения натуральных чисел.

Найдем, например, произведение 3,4 * 1,23. Увеличим первый множитель в 10 раз, а второй − в 100 раз. Это означает, что мы увеличили произведение в 1 000 раз.

Следовательно, произведение натуральных чисел 34 и 123 в 1 000 раз больше искомого произведения.

Имеем: 34 * 123 = 4182. Тогда для получения ответа надо число 4 182 уменьшить в 1 000 раз. Запишем: 4 182 = 4 182,0. Перенося запятую в числе 4 182,0 на три цифры влево, получим число 4,182, которое в 1 000 раз меньше числа 4 182. Поэтому 3,4 * 1,23 = 4,182.

Этот же результат можно получить, руководствуясь следующим правилом.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;

2) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

В тех случаях, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведение дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.

Например, 2 * 3 = 6, тогда 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, тогда 0,025 * 0,33 = 0,00825.

В тех случаях, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., удобно пользоваться следующим правилом.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры.

Например, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Например, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:

ab = ba − переместительное свойство умножения,

(ab)с = a(bс) − сочетательное свойство умножения,

a(b + с) = ab + ac − распределительное свойство умножения относительно сложения.