Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.
Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3. Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3) * 4.
Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4).
Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4. Имеем: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
В буквенном виде это свойство записывают так:
(ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.
Например, верны равенства:
abc = cba,
17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3) * (2 * 5).
На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.
Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.
С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2. Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2).
Равенсто 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения.
Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:
a(b + c) = ab + ac
Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что
ab + ac = a(b + c).
Это равенство позволяет формулу P = 2a + 2b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:
P = 2(a + b).
Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то
a(b − c) = ab − ac
Пример 1. Вычислите удобным способом:
1) 25 * 867 * 4;
2) 329 * 75 + 329 * 246.
Решение.
1) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:
25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4) = 867 * 100 = 86 700.
2) Имеем:
329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246) = 329 * 1 000 = 329 000.
Пример 2. Упростите выражение:
1) 4a * 3b;
2) 18m − 13m.
Решение.
1) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:
4a * 3b = (4 * 3) * ab = 12ab.
2) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:
18m − 13m = m(18 − 13) = m * 5 = 5m.
Пример 3. Запишите выражение 5(2m + 7) так, чтобы оно не содержало скобок.
Решение.
Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:
5(2m + 7) = 5 * 2m + 5 * 7 = 10m + 35.
Такое преобразование называют раскрытием скобок.
Пример 4. Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283.
Решение. Имеем:
125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8) * (3 * 283) = 1 000 * 849 = 849 000.
Пример 5. Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6.
Решение. Имеем:
3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.
При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:
3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.
