Отметьте точки M и N на расстоянии 8 см друг от друга. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами M и N так, чтобы они:
а) имели одну общую точку;
б) не имели общих точек;
в) пересекались в двух точках.

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

ГДЗ Математика 5 класс Виленкин (базовый уровень) часть 1. 26. Упражнения. Номер №5.77

Решение а

Окружности будут иметь одну общую точку, если сумма их радиусов будет равна расстоянию между этими точками.
По условию окружности имеют равные радиусы, значит:
8 : 2 = 4 (см) − должны быть радиусы окружностей.
Решение рисунок 1
MN = 8 см
MA = NA = 4 см
Точка A − точка пересечения окружностей M и N.

Решение б

Окружности не будут иметь общих точке, если сумма их радиусов будет меньше расстояния между этими точками.
По условию окружности имеют равные радиусы, значит:
8 : 2 = 4 (см) − значит радиус каждой окружности должен быть меньше 4 см.
Пусть радиусы окружностей равны 3 см, тогда:
Решение рисунок 1
MN = 8 см
MA = NB = 3 см
Окружности M и N не имеют точек пересечения.

Решение в

Окружности будут пересекаться в двух точках, если сумма их радиусов будет больше расстояния между этими точками.
По условию окружности имеют равные радиусы, значит:
8 : 2 = 4 (см) − значит радиус каждой окружности должен быть больше 4 см.
Пусть радиусы окружностей равны 5 см, тогда:
Решение рисунок 1
MN = 8 см
MA = NB = 5 см
Окружности M и N имеют две точки пересечения A и B.

Дополнительное решение

Теоретическая часть:

Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (радиусе) от одной точки, которая называется центром окружности.

Если есть две окружности с центрами M и N и одинаковыми радиусами, то в зависимости от расстояния между центрами и длины радиуса возможны следующие ситуации:

Окружности имеют одну общую точку (касаются внешне) — это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов:
$ MN = R + R = 2R $
Окружности не имеют общих точек — это возможно в двух случаях:
- если расстояние между центрами больше суммы радиусов: $ MN > 2R $ (окружности не касаются и не пересекаются);
- если расстояние между центрами меньше разности радиусов: $ MN < |R_1 - R_2| $, но в нашем случае радиусы одинаковые, поэтому этот вариант не подходит.
Окружности пересекаются в двух точках — это происходит, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности:
$ 0 < MN < 2R $

В задаче известно, что расстояние между точками M и N равно 8 см, и радиусы окружностей одинаковые. Обозначим радиус через $ R $, тогда:

Если $ 2R = 8 $, то $ R = 4 $ — окружности будут касаться внешне (одна общая точка).
Если $ 2R < 8 $, то $ R < 4 $ — окружности не пересекутся.
Если $ 2R > 8 $, то $ R > 4 $ — окружности пересекутся в двух точках.

Теперь по пунктам задачи:

а) Одна общая точка (внешнее касание):
Выберем радиус $ R = 4 $ см.
Поскольку $ R + R = 8 $ см, а расстояние между центрами тоже 8 см, окружности будут касаться друг друга в одной точке.

б) Не имеют общих точек:
Выберем радиус меньше 4 см, например, $ R = 3 $ см.
Тогда $ R + R = 6 $ см, а $ 6 < 8 $, значит окружности не пересекаются и не касаются.

в) Пересекаются в двух точках:
Выберем радиус больше 4 см, например, $ R = 5 $ см.
Тогда $ R + R = 10 $ см, а $ 8 < 10 $, значит окружности пересекаются в двух точках.

Ответ:

а) Радиус окружностей 4 см — одна общая точка.
б) Радиус окружностей 3 см — общих точек нет.
в) Радиус окружностей 5 см — две общие точки.