Найдите число по схеме алгоритма при a, равном:
a) $\frac{7}{13}$;
б) $\frac{16}{13}$;
в) $\frac{4}{13}$;
г) $\frac{3}{13}$;
д) $1\frac{5}{13}$.

Для решения этой задачи нам потребуется понимание следующих математических концепций:

1. Обыкновенные дроби: Дробь, где числитель и знаменатель − целые числа. Например, $\frac{a}{b}$, где $a$ − числитель, $b$ − знаменатель.
2. Сложение и вычитание обыкновенных дробей:
   • Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
   • $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
   • $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
3. Смешанные числа: Число, состоящее из целой части и дробной части. Например, $A\frac{c}{b}$, где $A$ − целая часть, а $\frac{c}{b}$ − дробная часть.
4. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь: Чтобы преобразовать смешанное число $A\frac{c}{b}$ в неправильную дробь, нужно умножить целую часть на знаменатель дробной части и прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель останется тем же.
   • $A\frac{c}{b} = \frac{A \cdot b + c}{b}$
5. Сравнение дробей с единицей:
   • Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.
   • Если числитель дроби больше знаменателя, то дробь больше 1.
   • Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна 1.
6. Десятичные дроби.

Теперь, когда мы повторили необходимые теоретические сведения, приступим к решению задачи. Нам нужно найти число, выполняя действия по схеме алгоритма для каждого заданного значения $a$.

a) $a = \frac{7}{13}$

1. $\frac{7}{13} + \frac{4}{13} = \frac{7+4}{13} = \frac{11}{13}$
2. $\frac{11}{13} + \frac{1}{13} = \frac{11+1}{13} = \frac{12}{13}$
3. $\frac{12}{13} - \frac{8}{13} = \frac{12-8}{13} = \frac{4}{13}$
4. Сравним $\frac{4}{13}$ с 1: Так как $4 < 13$, то $\frac{4}{13} < 1$. Значит, условие "$\frac{4}{13} > 1$" − нет.
5. Сравним $\frac{4}{13}$ с 1: Так как $\frac{4}{13}$ не равно $1$, то условие "$\frac{4}{13} = 1$" − нет.
6. $\frac{4}{13} + 1\frac{3}{13} = \frac{4}{13} + \frac{1 \cdot 13 + 3}{13} = \frac{4}{13} + \frac{16}{13} = \frac{4+16}{13} = \frac{20}{13} = 1\frac{7}{13}$
7. $1\frac{7}{13} + 2 = 3\frac{7}{13}$

Ответ: $3\frac{7}{13}$

б) $a = \frac{16}{13}$

1. $\frac{16}{13} + \frac{4}{13} = \frac{16+4}{13} = \frac{20}{13} = 1\frac{7}{13}$
2. $1\frac{7}{13} + \frac{1}{13} = \frac{20}{13} + \frac{1}{13} = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13}$
3. $1\frac{8}{13} - \frac{8}{13} = \frac{21}{13} - \frac{8}{13} = \frac{13}{13} = 1$
4. Сравним $1$ с $1$: Так как $1$ не больше $1$, то условие "$1 > 1$" − нет.
5. Сравним $1$ с $1$: Так как $1 = 1$, то условие "$1 = 1$" − да.
6. $1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$

в) $a = \frac{4}{13}$

1. $\frac{4}{13} + \frac{4}{13} = \frac{4+4}{13} = \frac{8}{13}$
2. $\frac{8}{13} + \frac{1}{13} = \frac{8+1}{13} = \frac{9}{13}$
3. $\frac{9}{13} - \frac{8}{13} = \frac{9-8}{13} = \frac{1}{13}$
4. Сравним $\frac{1}{13}$ с 1: Так как $1 < 13$, то $\frac{1}{13} < 1$. Значит, условие "$\frac{1}{13} > 1$" − нет.
5. Сравним $\frac{1}{13}$ с 1: Так как $\frac{1}{13}$ не равно $1$, то условие "$\frac{1}{13} = 1$" − нет.
6. $\frac{1}{13} + 1\frac{3}{13} = \frac{1}{13} + \frac{1 \cdot 13 + 3}{13} = \frac{1}{13} + \frac{16}{13} = \frac{1+16}{13} = \frac{17}{13} = 1\frac{4}{13}$
7. $1\frac{4}{13} + 2 = 3\frac{4}{13}$

Ответ: $3\frac{4}{13}$

г) $a = \frac{3}{13}$

1. $\frac{3}{13} + \frac{4}{13} = \frac{3+4}{13} = \frac{7}{13}$
2. $\frac{7}{13} + \frac{1}{13} = \frac{7+1}{13} = \frac{8}{13}$
3. $\frac{8}{13} - \frac{8}{13} = \frac{8-8}{13} = \frac{0}{13} = 0$
4. Сравним $0$ с $1$: Так как $0 < 1$, то условие "$0 > 1$" − нет.
5. Сравним $0$ с $1$: Так как $0$ не равно $1$, то условие "$0 = 1$" − нет.
6. $0 + 1\frac{3}{13} = 0 + \frac{1 \cdot 13 + 3}{13} = 0 + \frac{16}{13} = \frac{16}{13} = 1\frac{3}{13}$
7. $1\frac{3}{13} + 2 = 3\frac{3}{13}$

Ответ: $3\frac{3}{13}$

д) $a = 1\frac{5}{13}$

1. $1\frac{5}{13} + \frac{4}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 5}{13} + \frac{4}{13} = \frac{18}{13} + \frac{4}{13} = \frac{18+4}{13} = \frac{22}{13} = 1\frac{9}{13}$
2. $1\frac{9}{13} + \frac{1}{13} = \frac{22}{13} + \frac{1}{13} = \frac{23}{13} = 1\frac{10}{13}$
3. $1\frac{10}{13} - \frac{8}{13} = \frac{23}{13} - \frac{8}{13} = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13}$
4. Сравним $1\frac{2}{13}$ с $1$: Так как $1\frac{2}{13} > 1$, то условие "$1\frac{2}{13} > 1$" − да.
5. $1\frac{2}{13} - 1 = \frac{15}{13} - \frac{13}{13} = \frac{2}{13}$
6. $\frac{2}{13} + 3\frac{2}{13} = \frac{2}{13} + \frac{3 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{2}{13} + \frac{41}{13} = \frac{2+41}{13} = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13}$

Ответ: $3\frac{4}{13}$