Найдите значение выражения:
а) $37\frac{9}{13} - 13\frac{6}{13} + 7\frac{2}{13}$;
б) $21\frac{2}{9} + 4\frac{5}{6} - 5\frac{4}{9}$;
в) $54\frac{3}{11} + 8\frac{5}{11} + \frac{3}{22}$;
г) $6\frac{9}{10} + 2\frac{7}{10} + 4\frac{1}{10}$;
д) $14\frac{23}{100} - 3\frac{11}{100} - 1$;
е) $10 - 5\frac{39}{100} - 2\frac{56}{100}$.

Теория:

1. Смешанное число: Это число, которое состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{1}{3}$).

2. Сложение и вычитание смешанных чисел:

   • Складываем (или вычитаем) целые части отдельно.
   • Складываем (или вычитаем) дробные части отдельно.
   • Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем её к целой части числа.

3. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.

   • Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель.
   • Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель.

4. Выделение целой части из неправильной дроби: Если числитель дроби больше знаменателя, можно выделить целую часть. Для этого делим числитель на знаменатель. Частное будет целой частью, а остаток – числителем новой дроби с тем же знаменателем.

5. Преобразование целого числа в смешанное: Чтобы вычесть смешанное число из целого, нужно "занять" единицу у целого числа и представить её в виде дроби с нужным знаменателем. Например, $5 = 4\frac{3}{3} = 4\frac{7}{7}$ и т.д.

Теперь, когда мы вспомнили теорию, давай решим твои примеры по шагам:

а) $37\frac{9}{13} - 13\frac{6}{13} + 7\frac{2}{13}$

• Выполняем вычитание: $37\frac{9}{13} - 13\frac{6}{13} = (37 - 13) + (\frac{9}{13} - \frac{6}{13}) = 24\frac{3}{13}$
• Выполняем сложение: $24\frac{3}{13} + 7\frac{2}{13} = (24 + 7) + (\frac{3}{13} + \frac{2}{13}) = 31\frac{5}{13}$

Ответ: $31\frac{5}{13}$

б) $21\frac{2}{9} + 4\frac{5}{6} - 5\frac{4}{9}$

• Приводим дроби к общему знаменателю. НОК(9, 6) = 18.
  • $21\frac{2}{9} = 21\frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = 21\frac{4}{18}$
  • $4\frac{5}{6} = 4\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = 4\frac{15}{18}$
  • $5\frac{4}{9} = 5\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = 5\frac{8}{18}$
• Выполняем сложение: $21\frac{4}{18} + 4\frac{15}{18} = (21 + 4) + (\frac{4}{18} + \frac{15}{18}) = 25\frac{19}{18}$
• Выделяем целую часть: $25\frac{19}{18} = 25 + 1\frac{1}{18} = 26\frac{1}{18}$
• Выполняем вычитание: $26\frac{1}{18} - 5\frac{8}{18}$. Здесь нужно "занять" единицу.
  • $26\frac{1}{18} = 25 + 1\frac{1}{18} = 25\frac{19}{18}$
  • $25\frac{19}{18} - 5\frac{8}{18} = (25 - 5) + (\frac{19}{18} - \frac{8}{18}) = 20\frac{11}{18}$

Ответ: $20\frac{11}{18}$

в) $54\frac{3}{11} + 8\frac{5}{11} + \frac{3}{22}$

• Приводим дроби к общему знаменателю. НОК(11, 22) = 22.
  • $54\frac{3}{11} = 54\frac{3 \cdot 2}{11 \cdot 2} = 54\frac{6}{22}$
  • $8\frac{5}{11} = 8\frac{5 \cdot 2}{11 \cdot 2} = 8\frac{10}{22}$
• Выполняем сложение: $54\frac{6}{22} + 8\frac{10}{22} = (54 + 8) + (\frac{6}{22} + \frac{10}{22}) = 62\frac{16}{22}$
• Выполняем сложение: $62\frac{16}{22} + \frac{3}{22} = 62\frac{16+3}{22} = 62\frac{19}{22}$

Ответ: $62\frac{19}{22}$

г) $6\frac{9}{10} + 2\frac{7}{10} + 4\frac{1}{10}$

• Выполняем сложение: $6\frac{9}{10} + 2\frac{7}{10} = (6 + 2) + (\frac{9}{10} + \frac{7}{10}) = 8\frac{16}{10}$
• Выделяем целую часть: $8\frac{16}{10} = 8 + 1\frac{6}{10} = 9\frac{6}{10}$
• Выполняем сложение: $9\frac{6}{10} + 4\frac{1}{10} = (9 + 4) + (\frac{6}{10} + \frac{1}{10}) = 13\frac{7}{10}$

Ответ: $13\frac{7}{10}$

д) $14\frac{23}{100} - 3\frac{11}{100} - 1$

• Выполняем вычитание: $14\frac{23}{100} - 3\frac{11}{100} = (14 - 3) + (\frac{23}{100} - \frac{11}{100}) = 11\frac{12}{100}$
• Выполняем вычитание: $11\frac{12}{100} - 1 = (11 - 1) + \frac{12}{100} = 10\frac{12}{100}$
• Сокращаем дробь: $10\frac{12}{100} = 10\frac{3}{25}$

Ответ: $10\frac{3}{25}$

е) $10 - 5\frac{39}{100} - 2\frac{56}{100}$

• Преобразуем 10 в смешанное число: $10 = 9\frac{100}{100}$
• Выполняем вычитание: $9\frac{100}{100} - 5\frac{39}{100} = (9 - 5) + (\frac{100}{100} - \frac{39}{100}) = 4\frac{61}{100}$
• Выполняем вычитание: $4\frac{61}{100} - 2\frac{56}{100} = (4 - 2) + (\frac{61}{100} - \frac{56}{100}) = 2\frac{5}{100}$
• Сокращаем дробь: $2\frac{5}{100} = 2\frac{1}{20}$

Ответ: $2\frac{1}{20}$