Найдите разность:
а) $7\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5}$;
б) $28\frac{6}{13} - 7\frac{1}{13}$;
в) $6 - \frac{2}{5}$;
г) $21 - \frac{5}{9}$;
д) $4\frac{1}{7} - 1\frac{4}{7}$;
е) $12\frac{2}{5} - 1\frac{4}{5}$;
ж) $4\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4}$;
з) $5\frac{1}{7} - 3\frac{20}{21}$.

Теория:

1. Что такое смешанное число? Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной части (например, $2\frac{1}{3}$).

2. Как вычитать смешанные числа?

• Случай 1: Дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого.
  В этом случае можно отдельно вычесть целые части и отдельно дробные части:
  $(a\frac{b}{c} - d\frac{e}{c} = (a - d) + \frac{b - e}{c})$.

• Случай 2: Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
  Здесь нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части уменьшаемого. Например:
  $4\frac{1}{5} - 1\frac{3}{5} = 3\frac{6}{5} - 1\frac{3}{5}$.

• Вычитание дроби из целого числа.
  Нужно "занять" единицу у целого числа и представить её в виде дроби с нужным знаменателем. Например:
  $5 - \frac{2}{7} = 4\frac{7}{7} - \frac{2}{7}$.

3. Приведение дробей к общему знаменателю.
Если у дробей разные знаменатели, их нужно привести к общему знаменателю, чтобы можно было вычитать дроби.

Теперь решим примеры:

а) $7\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5}$

Здесь дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{5}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{5}$).
Вычитаем целые части: $7 - 1 = 6$.
Вычитаем дробные части: $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.
Получаем: $6 + \frac{1}{5} = 6\frac{1}{5}$.

б) $28\frac{6}{13} - 7\frac{1}{13}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{6}{13}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{1}{13}$).
Вычитаем целые части: $28 - 7 = 21$.
Вычитаем дробные части: $\frac{6}{13} - \frac{1}{13} = \frac{5}{13}$.
Получаем: $21 + \frac{5}{13} = 21\frac{5}{13}$.

в) $6 - \frac{2}{5}$

Представляем 6 как $5\frac{5}{5}$.
Тогда: $5\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 5\frac{3}{5}$.

г) $21 - \frac{5}{9}$

Представляем 21 как $20\frac{9}{9}$.
Тогда: $20\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = 20\frac{4}{9}$.

д) $4\frac{1}{7} - 1\frac{4}{7}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{7}$).
Занимаем единицу у 4: $4\frac{1}{7} = 3 + 1 + \frac{1}{7} = 3 + \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = 3\frac{8}{7}$.
Теперь вычитаем: $3\frac{8}{7} - 1\frac{4}{7} = (3 - 1) + (\frac{8}{7} - \frac{4}{7}) = 2 + \frac{4}{7} = 2\frac{4}{7}$.

е) $12\frac{2}{5} - 1\frac{4}{5}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{5}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{5}$).
Занимаем единицу у 12: $12\frac{2}{5} = 11 + 1 + \frac{2}{5} = 11 + \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 11\frac{7}{5}$.
Теперь вычитаем: $11\frac{7}{5} - 1\frac{4}{5} = (11 - 1) + (\frac{7}{5} - \frac{4}{5}) = 10 + \frac{3}{5} = 10\frac{3}{5}$.

ж) $4\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4}$

Приводим дроби к общему знаменателю (4): $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
Тогда: $4\frac{2}{4} - 3\frac{1}{4} = (4 - 3) + (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$.

з) $5\frac{1}{7} - 3\frac{20}{21}$

Приводим дроби к общему знаменателю (21): $\frac{1}{7} = \frac{3}{21}$.
Тогда: $5\frac{3}{21} - 3\frac{20}{21}$.
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{21}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{20}{21}$).
Занимаем единицу у 5: $5\frac{3}{21} = 4 + 1 + \frac{3}{21} = 4 + \frac{21}{21} + \frac{3}{21} = 4\frac{24}{21}$.
Теперь вычитаем: $4\frac{24}{21} - 3\frac{20}{21} = (4 - 3) + (\frac{24}{21} - \frac{20}{21}) = 1 + \frac{4}{21} = 1\frac{4}{21}$.