Найдите сумму:
а) $\frac{8}{13} + \frac{3}{13}$;
б) $\frac{31}{60} + \frac{29}{60}$;
в) $18 + \frac{4}{19}$;
г) $23 + \frac{9}{10}$;
д) $2\frac{7}{9} + \frac{8}{9}$;
е) $15\frac{8}{11} + 4\frac{3}{11}$;
ж) $4\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4}$;
з) $5\frac{1}{7} + 3\frac{20}{21}$.

Теория

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

2. Сложение смешанных чисел

Смешанное число состоит из целой и дробной части. Например, $2\frac{1}{3}$ – это смешанное число, где 2 – целая часть, а $\frac{1}{3}$ – дробная часть.

Чтобы сложить смешанные числа, можно отдельно сложить их целые части и дробные части:

$a\frac{b}{c} + d\frac{e}{c} = (a+d) + \frac{b+e}{c}$

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (то есть дробь, у которой числитель больше знаменателя), нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к целой части суммы.

3. Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий множитель.

Например: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}$

Решение примеров

а) $\frac{8}{13} + \frac{3}{13} = \frac{8 + 3}{13} = \frac{11}{13}$

• Здесь у нас две дроби с одинаковыми знаменателями (13).
• Складываем числители: $8 + 3 = 11$.
• Знаменатель остается прежним: 13.
• Получаем дробь $\frac{11}{13}$.

б) $\frac{31}{60} + \frac{29}{60} = \frac{31 + 29}{60} = \frac{60}{60} = 1$

• Здесь у нас тоже дроби с одинаковыми знаменателями (60).
• Складываем числители: $31 + 29 = 60$.
• Знаменатель остается прежним: 60.
• Получаем дробь $\frac{60}{60}$, которая равна 1.

в) $18 + \frac{4}{19} = 18\frac{4}{19}$

• Здесь мы складываем целое число (18) и дробь ($\frac{4}{19}$).
• Результат можно записать как смешанное число: $18\frac{4}{19}$.

г) $23 + \frac{9}{10} = 23\frac{9}{10}$

• Аналогично предыдущему примеру, складываем целое число (23) и дробь ($\frac{9}{10}$).
• Результат: $23\frac{9}{10}$.

д) $2\frac{7}{9} + \frac{8}{9} = 2 + \frac{7 + 8}{9} = 2 + \frac{15}{9} = 2 + 1\frac{6}{9} = 3\frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$

• Складываем смешанное число и дробь.
• Сначала складываем дробные части: $\frac{7}{9} + \frac{8}{9} = \frac{15}{9}$.
• $\frac{15}{9}$ – это неправильная дробь, выделяем целую часть: $\frac{15}{9} = 1\frac{6}{9}$.
• Прибавляем целую часть к целой части исходного смешанного числа: $2 + 1 = 3$.
• Получаем $3\frac{6}{9}$. Сокращаем дробную часть на 3 и получаем $3\frac{2}{3}$.

е) $15\frac{8}{11} + 4\frac{3}{11} = (15 + 4) + \frac{8 + 3}{11} = 19 + \frac{11}{11} = 19 + 1 = 20$

• Складываем два смешанных числа.
• Складываем целые части: $15 + 4 = 19$.
• Складываем дробные части: $\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1$.
• Прибавляем полученную единицу к сумме целых частей: $19 + 1 = 20$.

ж) $4\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} = 4\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4} = (4 + 3) + \frac{2 + 1}{4} = 7 + \frac{3}{4} = 7\frac{3}{4}$

• Складываем два смешанных числа с разными знаменателями.
• Приводим дроби к общему знаменателю (4): $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
• Теперь складываем: $4\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4}$.
• Складываем целые части: $4 + 3 = 7$.
• Складываем дробные части: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
• Получаем $7\frac{3}{4}$.

з) $5\frac{1}{7} + 3\frac{20}{21} = 5\frac{3}{21} + 3\frac{20}{21} = (5 + 3) + \frac{3 + 20}{21} = 8 + \frac{23}{21} = 8 + 1\frac{2}{21} = 9\frac{2}{21}$

• Складываем два смешанных числа с разными знаменателями.
• Приводим дроби к общему знаменателю (21): $\frac{1}{7} = \frac{3}{21}$.
• Теперь складываем: $5\frac{3}{21} + 3\frac{20}{21}$.
• Складываем целые части: $5 + 3 = 8$.
• Складываем дробные части: $\frac{3}{21} + \frac{20}{21} = \frac{23}{21}$.
• Выделяем целую часть из неправильной дроби: $\frac{23}{21} = 1\frac{2}{21}$.
• Прибавляем целую часть к сумме целых частей: $8 + 1 = 9$.
• Получаем $9\frac{2}{21}$.