а) Найдите скорость движения теплохода, если скорость течения реки 5 км/ч, собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) 31 км/ч и теплоход идет вниз по реке.
б) Найдите скорость движения катера, если скорость течения 4 км/ч, а собственная скорость катера 16 км/ч и катер идет вверх по реке.

Для того чтобы решить эти задачи, сначала разберёмся с теорией, которая поможет нам понять, как находить скорость движения судов (катеров, теплоходов и т.д.) на реке.

Теоретическая часть:

На реке движение происходит с учётом скорости течения. Рассмотрим два случая:

1. Собственная скорость судна — это скорость, с которой судно движется по стоячей воде, то есть если бы не было течения. Обозначим её как $ V_с $.

2. Скорость течения реки — это скорость, с которой движется сама река. Обозначим её как $ V_т $.

3. Скорость судна по реке — это скорость, с которой судно фактически движется относительно берега, с учётом течения. Эту скорость мы и будем находить. Обозначим её как $ V $.

Теперь рассмотрим два разных направления движения:

• Движение по течению (вниз по реке): в этом случае течение помогает судну, и его фактическая скорость увеличивается. Тогда:
  $$ V = V_с + V_т $$

• Движение против течения (вверх по реке): в этом случае течение мешает движению, и его фактическая скорость уменьшается. Тогда:
  $$ V = V_с - V_т $$

Теперь можем применить это к каждому пункту задачи.

а) Найдём скорость движения теплохода вниз по реке.

Дано:
− Скорость течения реки: $ V_т = 5 $ км/ч
− Собственная скорость теплохода: $ V_с = 31 $ км/ч

Так как теплоход идёт вниз по реке, то:
$$ V = V_с + V_т = 31 + 5 = 36 \text{ км/ч} $$

Ответ на а): 36 км/ч

б) Найдём скорость движения катера вверх по реке.

Дано:
− Скорость течения реки: $ V_т = 4 $ км/ч
− Собственная скорость катера: $ V_с = 16 $ км/ч

Так как катер идёт вверх по реке, то:
$$ V = V_с - V_т = 16 - 4 = 12 \text{ км/ч} $$

Ответ на б): 12 км/ч

Итоговые ответы:
а) 36 км/ч
б) 12 км/ч