Сравните:
а) $13\frac{3}{4}$ и $12\frac{1}{4}$;
б) $6\frac{2}{3}$ и $\frac{20}{3}$;
в) $9\frac{17}{25}$ и $9\frac{19}{25}$.

Теория для решения задач на сравнение смешанных чисел и дробей

Прежде чем сравнивать смешанные числа и дроби, нужно вспомнить основные понятия:

1. Смешанное число состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{1}{3}$).
2. Правильная дробь − это дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, $\frac{2}{5}$). Правильная дробь всегда меньше 1.
3. Неправильная дробь − это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{7}{3}$). Неправильная дробь всегда больше или равна 1.

Правила сравнения:

1. Сравнение смешанных чисел:

• Если целые части разные, то больше то число, у которого целая часть больше. Например, $5\frac{1}{2} > 4\frac{2}{3}$, потому что $5 > 4$.
• Если целые части одинаковые, то сравниваем дробные части. Больше та дробь, у которой числитель больше (при одинаковых знаменателях). Например, $3\frac{1}{5} < 3\frac{3}{5}$, потому что $\frac{1}{5} < \frac{3}{5}$.

2. Сравнение смешанного числа и неправильной дроби:

• Нужно либо смешанное число перевести в неправильную дробь, либо неправильную дробь перевести в смешанное число, а затем сравнить.
• Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить числитель дробной части, и записать это в числитель новой дроби. Знаменатель остается прежним. Например, $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
• Чтобы перевести неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Полученное целое число будет целой частью смешанного числа. Остаток от деления будет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним. Например, $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ (7 разделить на 3, получается 2 целых и 1 в остатке).

Теперь решим твои примеры с подробными объяснениями:

а) $13\frac{3}{4}$ и $12\frac{1}{4}$

• Целая часть первого числа 13, целая часть второго числа 12. Так как $13 > 12$, то $13\frac{3}{4} > 12\frac{1}{4}$.

б) $6\frac{2}{3}$ и $\frac{20}{3}$

• Переведем смешанное число $6\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{18 + 2}{3} = \frac{20}{3}$.
• Теперь сравниваем $\frac{20}{3}$ и $\frac{20}{3}$. Они равны.
• Значит, $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.

в) $9\frac{17}{25}$ и $9\frac{19}{25}$

• Целые части одинаковые (9 и 9), поэтому сравниваем дробные части: $\frac{17}{25}$ и $\frac{19}{25}$.
• У дробей одинаковые знаменатели, поэтому больше та дробь, у которой числитель больше. Так как $17 < 19$, то $\frac{17}{25} < \frac{19}{25}$.
• Значит, $9\frac{17}{25} < 9\frac{19}{25}$.