Миша может покрасить забор на даче за 15 ч, а Дима − за 12 ч. Какую часть забора они смогут покрасить за 1 ч вместе? Смогут ли они покрасить весь забор за 7 ч?

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о дробях и о том, как они используются для представления частей целого.

Что такое дробь?

Дробь − это способ записи числа, которое представляет собой часть целого. Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя.

• Знаменатель (число под чертой) показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Числитель (число над чертой) показывает, сколько таких частей взято.

Например, дробь $\frac{1}{2}$ означает, что целое разделено на 2 равные части, и взята 1 такая часть (то есть, половина).

Работа с дробями при выполнении работы

Когда мы говорим о работе (например, покраске забора), мы можем использовать дроби для представления того, какую часть работы выполняет человек за единицу времени (например, за час).

Если человек может выполнить всю работу за n часов, то за 1 час он выполняет $\frac{1}{n}$ часть работы.

Совместная работа

Когда два человека работают вместе, чтобы выполнить одну и ту же работу, мы можем сложить дроби, представляющие их индивидуальную производительность, чтобы найти их совместную производительность.

Если один человек выполняет $\frac{1}{n}$ работы за час, а другой − $\frac{1}{m}$ работы за час, то вместе они выполняют $\frac{1}{n} + \frac{1}{m}$ работы за час.

Сравнение дробей с единицей

Чтобы понять, смогут ли они выполнить всю работу за определенное время, нужно сравнить дробь, представляющую выполненную работу, с единицей (1), которая представляет всю работу.

• Если дробь меньше 1, то работа не выполнена полностью.
• Если дробь равна 1, то работа выполнена полностью.
• Если дробь больше 1, то работа выполнена более чем полностью (то есть, они сделали больше, чем требовалось).

Теперь решим задачу по шагам:

1. Какую часть забора Миша может покрасить за 1 час?

Миша может покрасить весь забор за 15 часов. Это значит, что за 1 час он может покрасить $\frac{1}{15}$ часть забора.
2. Какую часть забора Дима может покрасить за 1 час?

Дима может покрасить весь забор за 12 часов. Это значит, что за 1 час он может покрасить $\frac{1}{12}$ часть забора.
3. Какую часть забора они могут покрасить вместе за 1 час?

Чтобы найти, какую часть забора они могут покрасить вместе за 1 час, нужно сложить дроби, представляющие их индивидуальную производительность:

$\frac{1}{15} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 12 − это 60.

$\frac{1}{15} = \frac{1 * 4}{15 * 4} = \frac{4}{60}$

$\frac{1}{12} = \frac{1 * 5}{12 * 5} = \frac{5}{60}$

Теперь складываем:

$\frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{4 + 5}{60} = \frac{9}{60}$

Дробь $\frac{9}{60}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, который равен 3:

$\frac{9}{60} = \frac{9 : 3}{60 : 3} = \frac{3}{20}$

Значит, вместе за 1 час они могут покрасить $\frac{3}{20}$ часть забора.
4. Какую часть забора они могут покрасить вместе за 7 часов?

Чтобы найти, какую часть забора они могут покрасить вместе за 7 часов, нужно умножить их совместную производительность за 1 час на 7:

$\frac{3}{20} * 7 = \frac{3 * 7}{20} = \frac{21}{20}$

Получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Выделим целую часть:

$\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}$

Значит, вместе за 7 часов они могут покрасить $1\frac{1}{20}$ часть забора.
5. Смогут ли они покрасить весь забор за 7 часов?

Поскольку $1\frac{1}{20} > 1$, это значит, что за 7 часов они покрасят больше, чем весь забор.

Ответ: $\frac{3}{20}$ забора; да, смогут.