Не выполняя деления, сравните:
а) 7 и $7 : \frac{2}{9}$;
б) $8 : \frac{5}{8}$ и 8;
в) $\frac{10}{13}$ и $\frac{10}{13} : \frac{5}{23}$;
г) $1\frac{1}{9} : \frac{4}{9}$ и $1\frac{1}{9}$.

Для того чтобы правильно сравнить выражения, не выполняя деления, нужно вспомнить, как устроено деление на дробь и что происходит при делении на дробь меньше единицы и больше единицы.

---

Теория:

1. Деление на обыкновенную дробь (например, $ a : \frac{b}{c} $) – это то же самое, что умножение на обратную дробь:
   $$ a : \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b} $$

2. Когда мы делим число на дробь, результат зависит от того, меньше ли эта дробь 1 или больше 1:

   • Если дробь меньше 1, то результат деления становится больше исходного числа. Пример: $5 : \frac{1}{2} = 5 \cdot 2 = 10$, то есть число увеличилось.
   • Если дробь больше 1, то результат деления становится меньше исходного числа. Пример: $6 : \frac{3}{2} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$, то есть число уменьшилось.
   • Если делим на единицу, то число не меняется.

---

Теперь разберём все пункты по очереди:

---

а) 7 и $7 : \frac{2}{9}$

Сравним 7 и $7 : \frac{2}{9}$.

• Дробь $\frac{2}{9}$ меньше 1, значит при делении на неё число увеличивается.

То есть:
$$ 7 : \frac{2}{9} > 7 $$

Ответ: $7 : \frac{2}{9} > 7$

---

б) $8 : \frac{5}{8}$ и 8

• Дробь $\frac{5}{8}$ тоже меньше 1, значит при делении на неё число увеличивается.

То есть:
$$ 8 : \frac{5}{8} > 8 $$

Ответ: $8 : \frac{5}{8} > 8$

---

в) $\frac{10}{13}$ и $\frac{10}{13} : \frac{5}{23}$

• Дробь $\frac{5}{23}$ — меньше 1, потому что $5 < 23$, значит при делении на неё число увеличивается.

То есть:
$$ \frac{10}{13} : \frac{5}{23} > \frac{10}{13} $$

Ответ: $\frac{10}{13} : \frac{5}{23} > \frac{10}{13}$

---

г) $1\frac{1}{9} : \frac{4}{9}$ и $1\frac{1}{9}$

Сначала переведём смешанное число $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь:

$$ 1\frac{1}{9} = \frac{10}{9} $$

Теперь сравним:
$$ \frac{10}{9} : \frac{4}{9} \quad\text{и}\quad \frac{10}{9} $$

• $\frac{4}{9} < 1$, значит при делении на неё число увеличивается.

То есть:
$$ \frac{10}{9} : \frac{4}{9} > \frac{10}{9} $$

Значит, и:
$$ 1\frac{1}{9} : \frac{4}{9} > 1\frac{1}{9} $$

Ответ: $1\frac{1}{9} : \frac{4}{9} > 1\frac{1}{9}$

---

Итоги:

а) $7 : \frac{2}{9} > 7$

б) $8 : \frac{5}{8} > 8$

в) $\frac{10}{13} : \frac{5}{23} > \frac{10}{13}$

г) $1\frac{1}{9} : \frac{4}{9} > 1\frac{1}{9}$