Бригада железнодорожников в первый день отремотировала $\frac{2}{9}$ всего участка пути, во второй день − $\frac{4}{7}$ оставшегося участка пути, а в третий − остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?

Теория для решения задачи:

1. Дроби и часть от целого:

• Дробь показывает, какую часть от целого мы рассматриваем. Например, $\frac{2}{9}$ означает, что целое разделили на 9 равных частей и взяли 2 из них.
• Чтобы найти часть от целого, выраженную дробью, нужно умножить эту дробь на целое. Например, чтобы найти $\frac{2}{9}$ от 18 км, нужно умножить $\frac{2}{9} * 18 = 4$ км.
• Если известна часть от целого и дробь, выражающая эту часть, то можно найти целое, разделив известную часть на эту дробь. Например, если $\frac{2}{9}$ пути составляют 4 км, то весь путь равен $4 : \frac{2}{9} = 18$ км.
• В задачах, где речь идет о частях пути, работы и т.д., весь объем принимается за 1.

2. Арифметические действия с дробями:

• Сложение и вычитание дробей: складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить тем же.
• Умножение дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.
• Деление дробей: чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя.

3. Решение задач "на части":

• Внимательно прочитайте условие задачи и определите, что известно и что нужно найти.
• Если в задаче говорится об "оставшейся" части, то нужно вычесть известную часть из целого (которое обычно принимается за 1).
• Помните, что часть от части находится умножением дробей.
• Если известна часть и соответствующая ей дробь, то целое находится делением части на дробь.

Решение задачи:

1. Определим, какая часть пути осталась после первого дня:

Весь путь примем за 1. В первый день отремонтировали $\frac{2}{9}$ всего пути. Значит, осталось:

$1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ (пути) − осталось после первого дня.

1. Определим, какую часть пути отремонтировали во второй день:

Во второй день отремонтировали $\frac{4}{7}$ оставшегося участка пути. Оставшийся участок – это $\frac{7}{9}$ всего пути. Значит, во второй день отремонтировали:

$\frac{7}{9} * \frac{4}{7} = \frac{7 * 4}{9 * 7} = \frac{\bcancel{7} * 4}{9 * \bcancel{7}} = \frac{4}{9}$ (пути) − отремонтировали во второй день.

1. Определим, какую часть пути отремонтировали в третий день:

После первого дня осталось $\frac{7}{9}$ пути. Во второй день отремонтировали $\frac{4}{9}$ пути. Значит, в третий день отремонтировали:

$\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ (пути) − отремонтировали в третий день.

1. Найдем длину всего пути:

Известно, что в третий день отремонтировали 6 км, что составляет $\frac{1}{3}$ всего пути. Чтобы найти длину всего пути, нужно разделить 6 км на $\frac{1}{3}$:

$6 : \frac{1}{3} = 6 * \frac{3}{1} = 6 * 3 = 18$ (км) − длина всего пути.

Ответ: Бригада отремонтировала за три дня 18 км пути.