Как известно, деятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архангельская область) в Москву для поступления в Славяно−греко−латинскую академию. Первые три дня пути он шел, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошел М.Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел $\frac{10}{29}$ всего пути, во второй день − $\frac{4}{5}$ пути, пройденного в первый день, а в третий день − остальные 66 км?

Теория для решения задачи:

1. Дробь от числа: Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. Например, чтобы найти $\frac{2}{5}$ от числа 20, нужно 20 умножить на $\frac{2}{5}$: $20 * \frac{2}{5} = \frac{20 * 2}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
2. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, оставив знаменатель без изменений. Например: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$.
3. Представление целого числа в виде дроби: Любое целое число можно представить в виде дроби, где числитель равен этому числу, а знаменатель равен 1. Например: $5 = \frac{5}{1}$.
4. Представление единицы в виде дроби: Единицу можно представить в виде дроби с любым одинаковым числителем и знаменателем. Например: $1 = \frac{2}{2} = \frac{5}{5} = \frac{100}{100}$ и т.д.
5. Нахождение числа по его дроби: Чтобы найти число по его дроби, нужно известное значение, которое соответствует этой дроби, разделить на эту дробь. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь. Например, если $\frac{2}{3}$ некоторого числа равны 10, то само число равно: $10 : \frac{2}{3} = 10 * \frac{3}{2} = \frac{10 * 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Решение задачи:

1. Вычислим путь, пройденный М.Ломоносовым во второй день:

• Из условия известно, что во второй день он прошел $\frac{4}{5}$ пути, пройденного в первый день. В первый день он прошел $\frac{10}{29}$ всего пути.
• Чтобы найти, какую часть всего пути он прошел во второй день, нужно $\frac{10}{29}$ умножить на $\frac{4}{5}$: $\frac{10}{29} * \frac{4}{5} = \frac{10 * 4}{29 * 5} = \frac{40}{145}$.
• Сократим дробь $\frac{40}{145}$, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{40:5}{145:5} = \frac{8}{29}$.
• Итак, во второй день М.Ломоносов прошел $\frac{8}{29}$ всего пути.

1. Вычислим путь, пройденный М.Ломоносовым за первые два дня:

• Чтобы найти, какую часть всего пути он прошел за первые два дня, нужно сложить дроби, соответствующие пути, пройденному в первый и второй дни: $\frac{10}{29} + \frac{8}{29} = \frac{10+8}{29} = \frac{18}{29}$.
• Значит, за первые два дня М.Ломоносов прошел $\frac{18}{29}$ всего пути.

1. Вычислим, какая часть пути была пройдена в третий день:

• Весь путь принимаем за 1. Чтобы найти, какую часть пути М.Ломоносов прошел в третий день, нужно из 1 вычесть часть пути, пройденную за первые два дня: $1 - \frac{18}{29}$.
• Представим 1 как дробь со знаменателем 29: $1 = \frac{29}{29}$.
• Теперь вычтем: $\frac{29}{29} - \frac{18}{29} = \frac{29-18}{29} = \frac{11}{29}$.
• Таким образом, в третий день М.Ломоносов прошел $\frac{11}{29}$ всего пути.

1. Вычислим длину всего пути:

• Из условия известно, что в третий день он прошел 66 км, что соответствует $\frac{11}{29}$ всего пути.
• Чтобы найти длину всего пути, нужно 66 разделить на $\frac{11}{29}$: $66 : \frac{11}{29} = 66 * \frac{29}{11} = \frac{66 * 29}{11} = \frac{6 * 11 * 29}{11} = 6 * 29 = 174$.
• Следовательно, длина всего пути составляет 174 км.

Ответ: 174 км.