Вычислите:
а) $\frac{7}{9} : \frac{5}{3}$;
б) $\frac{8}{15} : \frac{24}{65}$;
в) $25 : \frac{15}{28}$;
г) $\frac{35}{16} : 7$.

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с делением дробей. Это не так сложно, как может показаться!

Теория

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно выполнить несколько простых шагов:

1. Переворачиваем вторую дробь (делитель): Это значит, что числитель и знаменатель меняются местами. Например, если у нас есть дробь $\frac{a}{b}$, то после переворачивания она станет $\frac{b}{a}$. Эта операция называется взятием обратной дроби.

2. Заменяем деление на умножение: Вместо того, чтобы делить первую дробь на вторую, мы умножаем первую дробь на перевернутую вторую дробь.

3. Умножаем дроби: Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и умножить их знаменатели. То есть, $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

4. Сокращаем (если возможно): После умножения, если возможно, упрощаем полученную дробь, сокращая числитель и знаменатель на их общий делитель.

5. Выделяем целую часть (если нужно): Если числитель получившейся дроби больше знаменателя, то дробь является неправильной. В этом случае можно выделить целую часть, чтобы представить дробь в виде смешанного числа.

Примеры

Давай рассмотрим пример: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$.

1. Переворачиваем вторую дробь: $\frac{4}{5}$ становится $\frac{5}{4}$.

2. Заменяем деление на умножение: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ превращается в $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}$.

3. Умножаем дроби: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12}$.

4. Сокращаем: $\frac{10}{12}$ можно сократить на 2, получаем $\frac{5}{6}$.

Теперь, когда мы вспомнили правила, давай решим твои примеры!

Решение

а) $\frac{7}{9} : \frac{5}{3} = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{21}{45}$. Теперь сократим дробь на 3: $\frac{21:3}{45:3} = \frac{7}{15}$.

б) $\frac{8}{15} : \frac{24}{65} = \frac{8}{15} \cdot \frac{65}{24} = \frac{8 \cdot 65}{15 \cdot 24}$. Здесь можно сократить сразу: $\frac{\bcancel{8}^1}{\bcancel{15}_3} \cdot \frac{\bcancel{65}^{13}}{\bcancel{24}_3} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 3} = \frac{13}{9}$. Выделяем целую часть: $\frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}$.

в) $25 : \frac{15}{28} = \frac{25}{1} \cdot \frac{28}{15} = \frac{25 \cdot 28}{1 \cdot 15}$. Сокращаем: $\frac{\bcancel{25}^5}{1} \cdot \frac{28}{\bcancel{15}_3} = \frac{5 \cdot 28}{1 \cdot 3} = \frac{140}{3}$. Выделяем целую часть: $\frac{140}{3} = 46\frac{2}{3}$.

г) $\frac{35}{16} : 7 = \frac{35}{16} : \frac{7}{1} = \frac{35}{16} \cdot \frac{1}{7} = \frac{35 \cdot 1}{16 \cdot 7}$. Сокращаем: $\frac{\bcancel{35}^5}{16} \cdot \frac{1}{\bcancel{7}_1} = \frac{5 \cdot 1}{16 \cdot 1} = \frac{5}{16}$.

Ответ

а) $\frac{7}{15}$
б) $1\frac{4}{9}$
в) $46\frac{2}{3}$
г) $\frac{5}{16}$