Снегоуборочная машина до обеда расчистила участок, составляющий $\frac{5}{7}$ от длины участка, расчищенного ею после обеда. Сколько километров дороги она расчистила за весь день, если участок, расчищенный после обеда, оказался на 14 км больше участка, расчищенного до обеда?

Для того чтобы решить задачу, сначала нужно хорошо понять, что в ней говорится, и какие математические знания нам пригодятся. Начнём с теории.

Теоретическая часть:

1. Доли и дроби:
В задаче используется дробь — $\frac{5}{7}$. Это означает, что до обеда машина убрала $\frac{5}{7}$ от того участка, который она убрала после обеда. То есть длина участка до обеда выражена как часть (доля) от длины участка после обеда.

2. Составление уравнений:
Если в тексте задачи есть фраза вроде "на столько−то больше", то можно составить уравнение. Например, если участок после обеда на 14 км больше, чем до обеда, то разность этих участков равна 14 км.

3. Решение уравнения с дробями:
Чтобы решить уравнение с дробными коэффициентами, нужно привести его к обычному виду — найти неизвестное, затем подставить его значение, чтобы найти нужные части.

Решение задачи:

Пусть x (км) — длина участка, который машина расчистила после обеда.
Тогда до обеда она расчистила $\frac{5}{7}x$ км, поскольку сказано, что до обеда она расчистила $\frac{5}{7}$ от длины участка после обеда.

Также сказано, что после обеда машина расчистила на 14 км больше, чем до обеда. Значит:

$$ x - \frac{5}{7}x = 14 $$

Приведём левую часть:

$$ \left(1 - \frac{5}{7}\right)x = \frac{2}{7}x = 14 $$

Теперь найдём x:

$$ x = 14 : \frac{2}{7} = 14 \cdot \frac{7}{2} = \frac{98}{2} = 49 $$

Значит, после обеда машина расчистила 49 км.

Теперь найдём, сколько она расчистила до обеда:

$$ \frac{5}{7} \cdot 49 = 35 \text{ км} $$

Теперь найдём, сколько всего машина расчистила за день:

$$ 35 + 49 = 84 \text{ км} $$

Ответ: 84 км.