Выполните деление:
а) $\frac{5}{9} : 5$;
б) $\frac{4}{7} : 4$;
в) $1 : \frac{5}{13}$;
г) $7 : \frac{4}{7}$;
д) $4 : \frac{8}{9}$.

Для решения этих примеров, нам нужно вспомнить правила деления дробей и деления целого числа на дробь.

Теория:

1. Деление дроби на целое число: Чтобы разделить дробь на целое число, нужно это число представить в виде дроби со знаменателем 1, а затем первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, если у нас есть дробь $\frac{a}{b}$ и нужно разделить её на целое число $c$, мы делаем следующее:

$\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b} : \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot c} = \frac{a}{b \cdot c}$

Проще говоря, чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.

2. Деление целого числа на дробь: Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число представить в виде дроби со знаменателем 1, а затем первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, если у нас есть целое число $c$ и нужно разделить его на дробь $\frac{a}{b}$, мы делаем следующее:

$c : \frac{a}{b} = \frac{c}{1} : \frac{a}{b} = \frac{c}{1} \cdot \frac{b}{a} = \frac{c \cdot b}{1 \cdot a} = \frac{c \cdot b}{a}$

Проще говоря, чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на перевернутую дробь.

3. Сокращение дробей: Перед умножением дробей полезно сократить общие множители в числителе и знаменателе, чтобы упростить вычисления.

Теперь решим примеры:

а) $\frac{5}{9} : 5 = \frac{5}{9} : \frac{5}{1} = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 5} = \frac{5}{45}$. Сократим дробь на 5: $\frac{5}{45} = \frac{1}{9}$.

б) $\frac{4}{7} : 4 = \frac{4}{7} : \frac{4}{1} = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 4} = \frac{4}{28}$. Сократим дробь на 4: $\frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.

в) $1 : \frac{5}{13} = \frac{1}{1} : \frac{5}{13} = \frac{1}{1} \cdot \frac{13}{5} = \frac{1 \cdot 13}{1 \cdot 5} = \frac{13}{5}$. Теперь выделим целую часть: $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$.

г) $7 : \frac{4}{7} = \frac{7}{1} : \frac{4}{7} = \frac{7}{1} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{1 \cdot 4} = \frac{49}{4}$. Теперь выделим целую часть: $\frac{49}{4} = 12\frac{1}{4}$.

д) $4 : \frac{8}{9} = \frac{4}{1} : \frac{8}{9} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{1 \cdot 8} = \frac{36}{8}$. Сократим дробь на 4: $\frac{36}{8} = \frac{9}{2}$. Теперь выделим целую часть: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.

Ответ:

а) $\frac{1}{9}$

б) $\frac{1}{7}$

в) $2\frac{3}{5}$

г) $12\frac{1}{4}$

д) $4\frac{1}{2}$