Найдите какие−нибудь четыре решения неравенства:
а) $a < \frac{1}{2}$;
б) 5 < b < 8;
в) $9\frac{1}{2} < с < 10\frac{1}{4}$.

Рассмотрим задачу подробно и по шагам, как это делают в школе.

Чтобы найти решения неравенств, сначала нужно хорошо понимать, что такое неравенство, дробные числа, сравнение дробей и смешанных чисел, и как приводить дроби к общему знаменателю и представлять смешанные числа.

---

Теоретическая часть:

1. Что такое неравенство?
Неравенство — это выражение, показывающее, что одно число больше или меньше другого. Знак "<" означает "меньше", знак ">" — "больше".

2. Дроби и сравнение дробей:
Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к одинаковому знаменателю. Например, чтобы сравнить дроби 1/2 и 3/10, приводим их к общему знаменателю, например, 10 или 20.

3. Смешанные числа:
Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной. Например:
$ 9\frac{1}{2} = 9 + \frac{1}{2} $

4. Как найти числа, удовлетворяющие неравенству?
Нужно подобрать любые числа, которые попадают в указанный промежуток. Это могут быть как обыкновенные дроби, так и смешанные числа.

---

Теперь решим каждое неравенство по отдельности, проверяя каждый шаг.

---

а) $ a < \frac{1}{2} $

Нам нужно найти четыре дробных числа, которые меньше $ \frac{1}{2} $.

Приведём $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 10 и 20:
$$ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{10}{20} $$

Теперь возьмём дроби со знаменателем 10, которые меньше $ \frac{5}{10} $:
$$ \frac{1}{10},\ \frac{2}{10},\ \frac{3}{10},\ \frac{4}{10} $$

Или со знаменателем 20, которые меньше $ \frac{10}{20} $:
$$ \frac{1}{20},\ \frac{3}{20},\ \frac{7}{20},\ \frac{9}{20} $$

Выберем любые четыре:
$$ a = \frac{1}{10};\ \frac{3}{10};\ \frac{2}{10};\ \frac{4}{10} $$

Убедимся, что все эти дроби меньше $ \frac{1}{2} $, то есть $ \frac{5}{10} $

Ответ: $ a = \frac{1}{10};\ \frac{2}{10};\ \frac{3}{10};\ \frac{4}{10} $

---

б) $ 5 < b < 8 $

Нужно подобрать четыре числа, которые больше 5, но меньше 8. Это могут быть целые и смешанные числа.

Примеры:
$$ b = 6;\ 6\frac{1}{2};\ 7;\ 7\frac{1}{2} $$

Проверим:
− 6 > 5 и < 8 — подходит
− $6\frac{1}{2}$ между 5 и 8 — подходит
− 7 — подходит
− $7\frac{1}{2}$ — тоже между 5 и 8 — подходит

Ответ: $ b = 6;\ 6\frac{1}{2};\ 7;\ 7\frac{1}{2} $

---

в) $ 9\frac{1}{2} < c < 10\frac{1}{4} $

Сначала представим смешанные числа в виде дробей с одинаковым знаменателем:

$$ 9\frac{1}{2} = 9 + \frac{1}{2} = \frac{18}{2} + \frac{1}{2} = \frac{19}{2} $$

$$ 10\frac{1}{4} = 10 + \frac{1}{4} = \frac{40}{4} + \frac{1}{4} = \frac{41}{4} $$

Теперь найдём общий знаменатель — это 4 и 2 → общий знаменатель 4.

$ \frac{19}{2} = \frac{38}{4} $

Значит:
$$ \frac{38}{4} < c < \frac{41}{4} $$

Нам нужно найти дроби между $ \frac{38}{4} $ и $ \frac{41}{4} $

Это:
− $ \frac{39}{4} = 9\frac{3}{4} $
− $ \frac{40}{4} = 10 $
− $ \frac{41}{4} = 10\frac{1}{4} $

Подходят числа:
− $ 9\frac{3}{4} $
− $ 10 $
− Можно взять дроби с более точным делением, например $ 10\frac{1}{10};\ 10\frac{1}{20} $, но они попадут внутрь промежутка.

Также можно взять:
− $ 10\frac{1}{40};\ 10\frac{3}{40};\ 10\frac{7}{40} $

Все эти числа между $ 9\frac{1}{2} $ и $ 10\frac{1}{4} $

Выбираем:
$$ c = 10;\ 10\frac{1}{40};\ 10\frac{3}{40};\ 10\frac{7}{40} $$

Ответ: $ c = 10;\ 10\frac{1}{40};\ 10\frac{3}{40};\ 10\frac{7}{40} $

---

Итоговые ответы:

а) $ a = \frac{1}{10};\ \frac{2}{10};\ \frac{3}{10};\ \frac{4}{10} $
б) $ b = 6;\ 6\frac{1}{2};\ 7;\ 7\frac{1}{2} $
в) $ c = 10;\ 10\frac{1}{40};\ 10\frac{3}{40};\ 10\frac{7}{40} $