Выполните действия:
а) $\frac{2}{5} * (\frac{11}{14} - \frac{3}{7})$;
б) $(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3$.

Для решения этих примеров, нам понадобятся знания об обыкновенных дробях, степенях и порядке выполнения действий.

Теория:

1. Обыкновенные дроби: Дробь состоит из числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число). Знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое, а числитель − сколько таких частей взято.

2. Вычитание дробей: Чтобы вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель.
Например: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a*d}{b*d} - \frac{c*b}{b*d} = \frac{ad - cb}{bd}$

3. Умножение дробей: Чтобы умножить дроби, нужно умножить их числители и знаменатели.
Например: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$

4. Сокращение дробей: После умножения или других действий с дробями, результат можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель.

5. Степень числа: Степень числа показывает, сколько раз число умножается само на себя. Например, $a^2 = a * a$, $a^3 = a * a * a$.

6. Сложение дробей: Чтобы сложить дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель.
Например: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a*d}{b*d} + \frac{c*b}{b*d} = \frac{ad + cb}{bd}$

7. Порядок выполнения действий: Сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, умножение и деление, и в конце сложение и вычитание.

Теперь решим примеры:

а) $\frac{2}{5} * (\frac{11}{14} - \frac{3}{7})$

1. Сначала нужно выполнить действие в скобках: $\frac{11}{14} - \frac{3}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 − это 14.
$\frac{3}{7} = \frac{3 * 2}{7 * 2} = \frac{6}{14}$

2. Теперь вычитаем дроби: $\frac{11}{14} - \frac{6}{14} = \frac{11 - 6}{14} = \frac{5}{14}$

3. Теперь умножаем результат на $\frac{2}{5}$: $\frac{2}{5} * \frac{5}{14} = \frac{2 * 5}{5 * 14} = \frac{10}{70}$

4. Сокращаем дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 10: $\frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

б) $(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3$

1. Сначала возводим дроби в степень:
$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1 * 1}{3 * 3} = \frac{1}{9}$
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1 * 1 * 1}{3 * 3 * 3} = \frac{1}{27}$

2. Теперь складываем дроби: $\frac{1}{9} + \frac{1}{27}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 27 − это 27.
$\frac{1}{9} = \frac{1 * 3}{9 * 3} = \frac{3}{27}$

3. Теперь складываем дроби: $\frac{3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{3 + 1}{27} = \frac{4}{27}$

Ответ: $\frac{4}{27}$