Найдите значение выражения:
а) $\frac{61}{64} - (\frac{7}{12} - \frac{5}{14}) * (\frac{13}{16} + \frac{1}{2})$;
б) $(1 - \frac{11}{17}) * (\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18})$;
в) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$;
г) $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{7}{16} + \frac{1}{20} + \frac{9}{20}$.
$\frac{61}{64} - (\frac{7}{12}^{(7} - \frac{5}{14}^{(6}) * (\frac{13}{16} + \frac{1}{2}^{(8}) = \frac{61}{64} - (\frac{49}{84} - \frac{30}{84}) * (\frac{13}{16} + \frac{8}{16}) = \frac{61}{64} - \frac{19}{\bcancel{84}_{4}} * \frac{\bcancel{21}^{1}}{16} = \frac{61}{64} - \frac{19}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$
$(1 - \frac{11}{17}) * (\frac{3}{4}^{(9} - \frac{5}{12}^{(3} + \frac{11}{18}^{(2}) =(\frac{17}{17} - \frac{11}{17}) * (\frac{27}{36} - \frac{15}{36} + \frac{22}{36}) = \frac{6}{17} * (\frac{12}{36} + \frac{22}{36}) = \frac{6}{17} * \frac{34}{36} = \frac{\bcancel{6}^{1}}{\bcancel{17}_{1}} * \frac{\bcancel{17}^{1}}{\bcancel{18}_{3}} = \frac{1}{3}$
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = (\frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3}^{(4} - \frac{1}{4}^{(3}) + (\frac{1}{5}^{(6} - \frac{1}{6}^{(5}) = \frac{1}{2} + (\frac{4}{12} - \frac{3}{12}) + (\frac{6}{30} - \frac{5}{30}) = \frac{1}{2}^{(30} + \frac{1}{12}^{(5} + \frac{1}{30}^{(2} = \frac{30}{60} + \frac{5}{60} + \frac{2}{60} = \frac{37}{60}$
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{7}{16} + \frac{1}{20} + \frac{9}{20} = \frac{4}{8} + \frac{6}{12} + \frac{8}{16} + \frac{10}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Для того чтобы решить такие задания, нужно уметь выполнять действия с обыкновенными дробями: складывать, вычитать, умножать и упрощать выражения. Разберем подробно теоретическую часть, а затем решим каждый пункт.
Теоретическая часть:
1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:
Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, затем умножить числитель и знаменатель каждой дроби так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. После этого можно складывать/вычитать числители, а знаменатель оставить без изменений.
2. Умножение дробей:
Чтобы умножить дроби, нужно перемножить числители между собой и знаменатели между собой, а затем результат упростить, если возможно.
3. Сокращение дробей:
Если числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1, нужно разделить на него и упростить дробь.
4. Скобки:
Сначала выполняются действия в скобках, потом умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Теперь применим эти правила к каждому пункту задания шаг за шагом.
а)
$$
\frac{61}{64} - \left(\frac{7}{12} - \frac{5}{14}\right) \cdot \left(\frac{13}{16} + \frac{1}{2}\right)
$$
Сначала вычислим выражение в первой скобке:
Найдём общий знаменатель для $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{5}{14} $.
НОК(12, 14) = 84.
Приводим дроби к знаменателю 84:
$$ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{49}{84}, \quad \frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{30}{84} $$
$$ \frac{7}{12} - \frac{5}{14} = \frac{49}{84} - \frac{30}{84} = \frac{19}{84} $$
Теперь вычислим сумму во второй скобке:
$$ \frac{13}{16} + \frac{1}{2} $$
Приведём к общему знаменателю.
$ \frac{1}{2} = \frac{8}{16} $, значит:
$$ \frac{13}{16} + \frac{8}{16} = \frac{21}{16} $$
Теперь перемножим $ \frac{19}{84} \cdot \frac{21}{16} $.
Сократим:
$$
\frac{19 \cdot 21}{84 \cdot 16} = \frac{19 \cdot 21}{84 \cdot 16}
$$
Сначала упростим:
84 = 2 * 2 * 3 * 7
16 = 2 * 2 * 2 * 2
21 = 3 * 7
$$ \frac{19 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{7}}{\bcancel{84} \cdot 16} = \frac{19}{64} $$
Теперь:
$$
\frac{61}{64} - \frac{19}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}
$$
Ответ: $ \frac{21}{32} $
б)
$$
\left(1 - \frac{11}{17}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18}\right)
$$
Сначала:
$$
1 - \frac{11}{17} = \frac{6}{17}
$$
Теперь считаем выражение в скобках. Приведем все дроби к общему знаменателю.
НОК(4, 12, 18) = 36
$$ \frac{3}{4} = \frac{27}{36}, \quad \frac{5}{12} = \frac{15}{36}, \quad \frac{11}{18} = \frac{22}{36} $$
Теперь:
$$
\frac{27}{36} - \frac{15}{36} + \frac{22}{36} = \frac{12 + 22}{36} = \frac{34}{36} = \frac{17}{18}
$$
Теперь:
$$
\frac{6}{17} \cdot \frac{17}{18}
$$
Сокращаем 17:
$$
\frac{6}{\cancel{17}} \cdot \frac{\cancel{17}}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
$$
Ответ: $ \frac{1}{3} $
в)
$$
1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}
$$
Считаем по порядку:
$$ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} $$
$$
\frac{5}{6} − \frac{1}{4} = \text{Новый общий знаменатель для 6 и 4 — 12:}
\frac{10}{12} − \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
$$
$$
\frac{7}{12} + \frac{1}{5} = \text{НОК(12, 5) = 60}
\frac{35}{60} + \frac{12}{60} = \frac{47}{60}
$$
$$
\frac{47}{60} − \frac{1}{6} = \text{НОК(60, 6) = 60}
\frac{47}{60} − \frac{10}{60} = \frac{37}{60}
$$
Ответ: $ \frac{37}{60} $
г)
$$
\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{7}{16} + \frac{1}{20} + \frac{9}{20}
$$
Складываем по парам:
$$ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{12} + \frac{5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{16} + \frac{7}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{1}{20} + \frac{9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $$
Теперь:
$$
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2
$$
Ответ: $ 2 $
Пожаулйста, оцените решение
