Представьте дробь $\frac{3}{4}$ в виде:
а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20;
б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

Для того чтобы представить дробь в виде суммы или разности двух дробей с заданными знаменателями, нужно понимать, как работают основные правила дробей.

Теоретическая часть

1. Равенство дробей
Две дроби равны, если можно домножить числитель и знаменатель одной дроби на одно и то же число и получить другую дробь.
Например:
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16} $$
Значит, дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{12}{16} $ равны.

2. Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. После этого складываются или вычитаются числители, а знаменатель остаётся тот же.

3. Сложение и вычитание дробей
$$ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}, \quad \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} $$

4. Проверка: правильно ли выполнено сложение или вычитание
Чтобы убедиться, что разность или сумма двух дробей равна нужной дроби, можно выполнить обратное действие или привести все дроби к одинаковому знаменателю и сравнить числители.

а) Представить $ \frac{3}{4} $ в виде разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20.

Нам надо найти такие дроби, например:
− $ \frac{a}{4} - \frac{b}{4} = \frac{3}{4} $
− $ \frac{a}{16} - \frac{b}{16} = \frac{3}{4} $
− $ \frac{a}{20} - \frac{b}{20} = \frac{3}{4} $

Начнём по порядку:

1. Со знаменателем 4:

$$ \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $$

Это правильно, так как:
$$ \frac{6 - 3}{4} = \frac{3}{4} $$

2. Со знаменателем 16:

Приведём $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 16:
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16} $$

Можем записать:
$$ \frac{15}{16} - \frac{3}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $$

3. Со знаменателем 20:

Приведём $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 20:
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} $$

Тогда:
$$ \frac{16}{20} - \frac{1}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $$

б) Представить $ \frac{3}{4} $ в виде суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

1. Со знаменателем 4:

$$ \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} $$

2. Со знаменателем 12:

Приведём $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12:
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $$

Тогда:
$$ \frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

3. Со знаменателем 28:

Приведём $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 28:
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} $$

Тогда:
$$ \frac{5}{28} + \frac{16}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $$