Проверьте. верно ли равенство:
а) $\frac{3}{5} - \frac{3}{8} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$;
б) $\frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$.
Объясните, почему так получилось.
$\frac{3}{5}^{8} - \frac{3}{8}^{5} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$
$\frac{24}{40} - \frac{15}{40} = \frac{9}{40}$
$\frac{9}{40} = \frac{9}{40}$ − равенство верно.
Объяснение:
$\frac{3}{5}^{8} - \frac{3}{8}^{5} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$
$\frac{3 * 8}{5 * 8} - \frac{3 * 5}{8 * 5} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$
$\frac{3 * 8 - 3 * 5}{5 * 8} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$
$\frac{3 * (8 - 5)}{5 * 8} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$
$\frac{3 * 3}{5 * 8} = \frac{3 * 3}{5 * 8}$ − верно
$\frac{2}{3}^{(7} - \frac{2}{7}^{(3} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$
$\frac{14}{21} - \frac{6}{21} = \frac{4}{21}$
$\frac{8}{21} = \frac{4}{21}$ − равенство неверно.
Объяснение:
$\frac{2}{3}^{(7} - \frac{2}{7}^{(3} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$
$\frac{2 * 7}{3 * 7} - \frac{2 * 3}{7 * 3} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$
$\frac{2 * 7 - 2 * 3}{3 * 7} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$
$\frac{2 * (7 - 3)}{3 * 7} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$
$\frac{2 * 4}{3 * 7} = \frac{2 * 2}{3 * 7}$ − неверно
Прежде чем проверять равенства, разберёмся в теории.
Теоретическая часть:
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, обычно это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. После этого числители можно складывать или вычитать.
Пример:
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} $$
Это правило вычитания дробей с разными знаменателями через приведение к общему знаменателю $ bd $.
Пример:
$$ \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12} $$
Теперь проверим каждое из предложенных равенств.
а) Проверим:
$$ \frac{3}{5} - \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 8} \quad ? $$
Левая часть:
Приведём к общему знаменателю:
Наименьшее общее кратное 5 и 8 — это 40.
$$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}, \quad \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $$
Тогда:
$$ \frac{3}{5} - \frac{3}{8} = \frac{24}{40} - \frac{15}{40} = \frac{9}{40} $$
Правая часть:
$$ \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 8} = \frac{9}{40} $$
Равенство верно.
Объяснение:
$$ \frac{3}{5} - \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 - 3 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{3(8 - 5)}{40} = \frac{3 \cdot 3}{40} = \frac{9}{40} $$
б) Проверим:
$$ \frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} \quad ? $$
Левая часть:
Приводим к общему знаменателю. НОК 3 и 7 — 21.
$$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}, \quad \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $$
Тогда:
$$ \frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{14}{21} - \frac{6}{21} = \frac{8}{21} $$
Правая часть:
$$ \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21} $$
Равенство неверно, так как:
$$
\frac{8}{21} \ne \frac{4}{21}
$$
Объяснение:
$$ \frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 - 2 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{2(7 - 3)}{21} = \frac{2 \cdot 4}{21} = \frac{8}{21} $$
А в правой части стоит $\frac{2 \cdot 2}{21} = \frac{4}{21}$, поэтому они не равны.
Ответ:
а) Равенство верно,
б) Равенство неверно.
Это произошло потому, что в первом случае вычитались дроби с одинаковыми числителями, и выражение $\frac{a}{b} - \frac{a}{d} = \frac{a(d - b)}{bd}$ действительно даёт $\frac{a \cdot a}{bd}$, если $d - b = a$.
А во втором случае это правило не работает, потому что разность знаменателей не равна числителю.
Пожаулйста, оцените решение
