Найдите сумму:
а) $\frac{1}{5} + \frac{2}{11} + \frac{4}{5} + \frac{7}{11}$;
б) $\frac{2}{3} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18}$.

Чтобы правильно решить задачу на сложение дробей, сначала разберёмся с теорией.

Теоретическая часть

Что такое дроби?
Дробь — это число, которое показывает, какую часть от целого мы рассматриваем. Например, дробь $ \frac{1}{5} $ означает одну из пяти равных частей.

Как складывать дроби?
1. С одинаковыми знаменателями (нижними числами): просто складываем числители (верхние числа), а знаменатель остаётся тем же.
Пример:
$ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} $

2. С разными знаменателями: нужно привести дроби к общему знаменателю — это такое число, которое делится на оба знаменателя.
− Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
− Преобразуем дроби так, чтобы у них был одинаковый знаменатель.
− Складываем числители.

Как приводить дроби к общему знаменателю?
− Например, $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $. Общий знаменатель — НОК 3 и 6 = 6.
− $ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $, $ \frac{5}{6} = \frac{5}{6} $, тогда:
$ \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2} $

Теперь решим задачи по порядку.

а)
Найти сумму:
$$ \frac{1}{5} + \frac{2}{11} + \frac{4}{5} + \frac{7}{11} $$

Посмотрим, какие дроби можно сложить сразу:

• $ \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{1 + 4}{5} = \frac{5}{5} = 1 $
• $ \frac{2}{11} + \frac{7}{11} = \frac{2 + 7}{11} = \frac{9}{11} $

Теперь сложим полученные части:
$$ 1 + \frac{9}{11} = 1\frac{9}{11} $$

Ответ:
$1\frac{9}{11}$

б)
Найти сумму:
$$ \frac{2}{3} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} $$

Здесь у всех дробей разные знаменатели: 3, 8, 6 и 18. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим на множители:

• 3 = 3
• 6 = 2 * 3
• 8 = 2³
• 18 = 2 * 3²

НОК берём по максимуму всех простых множителей:
− 2³ = 8
− 3² = 9

Значит, НОК(3, 6, 8, 18) = 8 * 9 = 72

Теперь приведём все дроби к знаменателю 72:

• $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 24}{3 \cdot 24} = \frac{48}{72} $
• $ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72} $
• $ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 12} = \frac{60}{72} $
• $ \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{28}{72} $

Теперь сложим все дроби:
$$ \frac{48}{72} + \frac{27}{72} + \frac{60}{72} + \frac{28}{72} = \frac{48 + 27 + 60 + 28}{72} = \frac{163}{72} $$

Выделим целую часть:
− $ 72 \cdot 2 = 144 $,
− $ 163 - 144 = 19 $

$$ \frac{163}{72} = 2\frac{19}{72} $$

Ответ:
$ 2\frac{19}{72}$