Запишите дроби $\frac{11}{25}, \frac{10}{34}, \frac{1}{8}$ в порядке возрастания.

Чтобы решить задачу на упорядочивание дробей по возрастанию, сначала разберёмся в теории.

Теоретическая часть:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю — общему кратному всех знаменателей. Наилучше подходит наименьшее общее кратное (НОК), так как оно минимальное и упрощает вычисления.

Шаги при сравнении дробей:

1. Если дроби несократимые — сначала сократим их, если возможно.
2. Найдём наименьшее общее кратное знаменателей (НОК).
3. Приведём все дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на нужное число.
4. Сравним полученные дроби по числителям (так как знаменатели теперь одинаковые).
5. Запишем исходные дроби в правильном порядке возрастания.

Решение задачи:

Нам нужно упорядочить дроби:
$$ \frac{11}{25}, \frac{10}{34}, \frac{1}{8} $$

1. Упростим дроби, если можно:

• $\frac{11}{25}$ — несократимая, так как 11 и 25 не имеют общих делителей кроме 1.
• $\frac{10}{34}$ — числитель и знаменатель делятся на 2: $$ \frac{10}{34} = \frac{10 : 2}{34 : 2} = \frac{5}{17} $$
• $\frac{1}{8}$ — уже несократимая дробь.

Итак, теперь у нас:
$$ \frac{11}{25}, \frac{5}{17}, \frac{1}{8} $$

2. Найдём наименьшее общее кратное знаменателей: 25, 17 и 8.

Разложим на простые множители:

• 25 = $5 \cdot 5 = 5^2$
• 17 — простое число
• 8 = $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Наименьшее общее кратное (НОК) берётся как произведение всех простых множителей в максимальных степенях:

$$ НОК(25, 17, 8) = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 17 = 8 \cdot 25 \cdot 17 $$

Посчитаем:

• $8 \cdot 25 = 200$
• $200 \cdot 17 = 3400$

Итак, общий знаменатель: 3400

3. Приведём дроби к общему знаменателю 3400:

• $\frac{11}{25} = \frac{11 \cdot 136}{25 \cdot 136} = \frac{1496}{3400}$
  (потому что $3400 : 25 = 136$)

• $\frac{5}{17} = \frac{5 \cdot 200}{17 \cdot 200} = \frac{1000}{3400}$
  (потому что $3400 : 17 = 200$)

• $\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 425}{8 \cdot 425} = \frac{425}{3400}$
  (потому что $3400 : 8 = 425$)

4. Сравним дроби:

$$ \frac{425}{3400} < \frac{1000}{3400} < \frac{1496}{3400} $$

5. Запишем исходные дроби в порядке возрастания:

$$ \frac{1}{8} < \frac{5}{17} < \frac{11}{25} $$

Ответ:
$$ \frac{1}{8} < \frac{5}{17} < \frac{11}{25} $$