а) Длина первого звена ломаной равна $3\frac{7}{20}$ м, длина второго − на $\frac{3}{5}$ м больше, а длина третьего − на $\frac{3}{4}$ м меньше длины первого звена. Найдите длину ломаной. Ответ выразите в метрах и сантиметрах.
б) Ломаная состоит из трех звеньев, и ее длина равна $22\frac{7}{10}$ дм. Найдите среднее звено, если первое звено $8\frac{4}{5}$ дм и оно меньше последнего на $2\frac{3}{4}$ дм.

Для решения подобных задач нужно знать несколько важных теоретических моментов.

---

Теоретическая часть:

1. Сложение и вычитание смешанных чисел
Смешанное число состоит из целой части и дробной. Например, $ 3\frac{7}{20} = 3 + \frac{7}{20} $.
Чтобы сложить или вычесть смешанные числа, лучше всего:
− либо привести дробные части к общему знаменателю и складывать/вычитать отдельно целые и дробные части,
− либо перевести смешанные числа в неправильные дроби, выполнить действие, а затем преобразовать обратно в смешанную дробь.

2. Нахождение длины ломаной
Ломаная состоит из нескольких звеньев. Чтобы найти её общую длину, нужно сложить длины всех звеньев.

3. Перевод из метров в сантиметры
1 метр = 100 сантиметров.
Чтобы перевести дробную часть метра (например, 0,25 м) в сантиметры, нужно умножить на 100:
$ 0,25 \times 100 = 25 $ см.

---

Решение задачи:

а)
Дано:
− Первое звено: $ 3\frac{7}{20} $ м
− Второе звено на $ \frac{3}{5} $ м больше первого
− Третье звено на $ \frac{3}{4} $ м меньше первого

Найти: сумму всех звеньев — длину ломаной — в метрах и сантиметрах.

Шаг 1: Найдём длину второго звена:
$ 3\frac{7}{20} + \frac{3}{5} $

Приводим $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 20:
$ \frac{3}{5} = \frac{12}{20} $

Теперь складываем дробные части:
$ \frac{7}{20} + \frac{12}{20} = \frac{19}{20} $

Целая часть: 3
Итак, второе звено: $ 3 + \frac{19}{20} = 3\frac{19}{20} $ м

Шаг 2: Найдём длину третьего звена:
$ 3\frac{7}{20} - \frac{3}{4} $

Приводим $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 20:
$ \frac{3}{4} = \frac{15}{20} $

$ \frac{7}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{8}{20} $. Появилось отрицательное дробное число. Значит, нужно занять 1 из целой части.

Из $ 3\frac{7}{20} $ делаем:
$ 2 + (1 + \frac{7}{20}) = 2 + \frac{27}{20} $

Теперь:
$ \frac{27}{20} - \frac{15}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $

Итак, третье звено: $ 2\frac{3}{5} $ м

Шаг 3: Сложим все три звена:
− Первое: $ 3\frac{7}{20} $
− Второе: $ 3\frac{19}{20} $
− Третье: $ 2\frac{3}{5} $

Приведем все дроби к знаменателю 20:
$ \frac{3}{5} = \frac{12}{20} $

Теперь складываем:
Целые части: $ 3 + 3 + 2 = 8 $
Дробные: $ \frac{7}{20} + \frac{19}{20} + \frac{12}{20} = \frac{38}{20} $

$ \frac{38}{20} = 1\frac{18}{20} = 1\frac{9}{10} $

Итак, общая длина ломаной:
$ 8 + 1\frac{9}{10} = 9\frac{9}{10} $ м

Переведем дробную часть в сантиметры:
$ \frac{9}{10} $ м = $ \frac{9}{100} $ м = $ 90 $ см

Ответ к а): 9 метров 90 сантиметров

---

б)
Дано:
− Длина всей ломаной: $ 22\frac{7}{10} $ дм
− Первое звено: $ 8\frac{4}{5} $ дм
− Первое звено меньше последнего на $ 2\frac{3}{4} $ дм
Найти: длину среднего звена

Шаг 1: Найдём длину последнего (третьего) звена:
$ 8\frac{4}{5} + 2\frac{3}{4} $

Приведем дроби к общему знаменателю 20:
$ \frac{4}{5} = \frac{16}{20} $
$ \frac{3}{4} = \frac{15}{20} $

Складываем дробные части:
$ \frac{16}{20} + \frac{15}{20} = \frac{31}{20} = 1\frac{11}{20} $

Целая часть: $ 8 + 2 = 10 $
Итак, $ 10 + 1\frac{11}{20} = 11\frac{11}{20} $ дм

Третье звено: $ 11\frac{11}{20} $ дм

Шаг 2: Найдём длину среднего звена:
Из общей длины вычтем первое и третье звенья:

$ 22\frac{7}{10} - (8\frac{4}{5} + 11\frac{11}{20}) $

Сначала найдём сумму первого и третьего звеньев:
$ 8\frac{4}{5} + 11\frac{11}{20} $

Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{4}{5} = \frac{16}{20} $

Дробные: $ \frac{16}{20} + \frac{11}{20} = \frac{27}{20} = 1\frac{7}{20} $

Целые: $ 8 + 11 = 19 $

Итого: $ 19 + 1\frac{7}{20} = 20\frac{7}{20} $

Теперь:
$ 22\frac{7}{10} - 20\frac{7}{20} $

Приведём к одинаковым знаменателям:
$ \frac{7}{10} = \frac{14}{20} $

Теперь:
$ 22\frac{14}{20} - 20\frac{7}{20} = (22 - 20) + \left( \frac{14}{20} - \frac{7}{20} \right) = 2 + \frac{7}{20} $

Ответ к б): 2$\frac{7}{20}$ дм — длина среднего звена.