Отметьте на координатной прямой (рис.5.58) точки $M(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ и $N(\frac{1}{c} - \frac{1}{a})$.

Чтобы правильно отметить точки $ M\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}\right) $ и $ N\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{a}\right) $ на координатной прямой, сначала разберёмся с теорией.

Теоретическая часть:

На координатной прямой числа откладываются справа от нуля по возрастанию. Если два числа положительные и одно из них больше, то оно будет находиться дальше от нуля.

На рисунке даны точки $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{c} $, причём видно, что сначала идёт $ \frac{1}{a} $, а потом — $ \frac{1}{c} $. Это значит:

$$ \frac{1}{a} < \frac{1}{c} $$

Из этого следует, что:

$$ a > c $$

(Чем больше знаменатель положенной дроби, тем она меньше.)

Теперь найдём:
1. $ M\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}\right) $
2. $ N\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{a}\right) $

1. Точка $ M \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \right) $:

Это сумма двух положительных чисел $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{c} $.

Значит, точка $ M $ будет правее, чем обе эти точки. То есть, правее точки $ \frac{1}{c} $ (так как она больше, чем $ \frac{1}{a} $).

2. Точка $ N \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) $:

Так как $ \frac{1}{a} < \frac{1}{c} $, то:

$$ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} > 0 $$

Это положительное число, но меньше, чем обе дроби по отдельности. Поэтому точка $ N $ будет где−то между нулём и $ \frac{1}{c} $, но правее точки $ \frac{1}{a} $, потому что:

$$ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} > \frac{1}{a} \quad\text{⇔}\quad \frac{1}{c} > 2 \cdot \frac{1}{a} $$

Но если просто отметить положение, то:
− $ 0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{c} $
− $ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} < \frac{1}{c} $
− $ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} > 0 $

Значит, точка $ N $ будет между точками $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{c} $.

Вывод:

• Точка $ M\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}\right) $ — правее точки $ \frac{1}{c} $
• Точка $ N\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{a}\right) $ — между точками $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{c} $