Три брата − Андрей, Матвей и Тимофей − вскапывали три одинаковые грядки. За одно и то же время один вскопал $\frac{2}{3}$ грядки, другой − $\frac{5}{9}$ грядки, а третий − $\frac{3}{5}$ грядки. Какую часть грядки осталось вскопать каждому, если известно, что Андрей вскопал больше Тимофея, а Матвей − больше Андрея?

Чтобы правильно решить задачу, сначала разберёмся с теорией.

В задаче говорится, что три брата вскопали по одной одинаковой грядке, но каждый вскопал разное количество грядки за одно и то же время. Это означает, что:

• Каждый брат вскопал часть одной грядки.
• Указаны три величины: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$ и $\frac{3}{5}$ — это части грядки, вскопанные каждым братом.
• Имя каждого брата не привязан напрямую к числам, но указано, кто из них вскопал больше:
  • Андрей вскопал больше Тимофея.
  • Матвей вскопал больше Андрея.

Значит, мы должны:

1. Разобраться, какая из трёх дробей больше.
2. Соотнести их с именами, согласно условиям.
3. Вычислить, сколько осталось каждому вскопать, если вся грядка — это единица (1).

---

Сравнение дробей

Чтобы сравнить дроби, приведём их к общему знаменателю.

Даны:
− $\frac{2}{3}$
− $\frac{5}{9}$
− $\frac{3}{5}$

Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3, 9, 5.

Разложим на простые множители:
− 3 = 3
− 9 = 3²
− 5 = 5

НОК(3, 5, 9) = 3² * 5 = 9 * 5 = 45

Теперь приведём все дроби к знаменателю 45:

• $\frac{2}{3} = \frac{2 * 15}{3 * 15} = \frac{30}{45}$
• $\frac{5}{9} = \frac{5 * 5}{9 * 5} = \frac{25}{45}$
• $\frac{3}{5} = \frac{3 * 9}{5 * 9} = \frac{27}{45}$

Теперь сравним:

$\frac{25}{45} < \frac{27}{45} < \frac{30}{45}$

Значит:

• Меньше всего — $\frac{25}{45} = \frac{5}{9}$
• Затем — $\frac{27}{45} = \frac{3}{5}$
• Больше всего — $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$

Теперь соотнесём с условием:

• Тимофей — меньше всех → $\frac{5}{9}$
• Андрей — больше Тимофея → $\frac{3}{5}$
• Матвей — больше Андрея → $\frac{2}{3}$

---

Находим, сколько осталось вскопать каждому

Если вся грядка — это 1, тогда:

Для Тимофея:

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Для Андрея:

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Для Матвея:

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

---

Проверим:

• Тимофей вскопал $\frac{5}{9}$ → осталось $\frac{4}{9}$
• Андрей — $\frac{3}{5}$ → осталось $\frac{2}{5}$
• Матвей — $\frac{2}{3}$ → осталось $\frac{1}{3}$

---

Ответ:

• Тимофею — $\frac{4}{9}$
• Андрею — $\frac{2}{5}$
• Матвею — $\frac{1}{3}$