а) Объясните, почему $\frac{1}{7} > \frac{1}{9}, \frac{2}{7} > \frac{2}{9}, \frac{5}{7} > \frac{5}{9}$, не приводя дроби к общему знаменателю.
б) Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями.
в) Используя это правило, сравните:
$\frac{4}{7}$ и $\frac{4}{13}$;
$\frac{9}{16}$ и $\frac{9}{10}$;
$\frac{21}{33}$ и $\frac{21}{31}$.

Теоретическая часть:

Чтобы сравнивать дроби, существует несколько способов. Один из них — приведение дробей к общему знаменателю. Но иногда можно сравнивать дроби и без этого, особенно если у них одинаковые числители.

Рассмотрим, как ведёт себя дробь при изменении знаменателя:

Если числитель одинаковый, то чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.
Представим себе дробь как деление: например, $ \frac{1}{7} $ — это 1 делим на 7, а $ \frac{1}{9} $ — это 1 делим на 9. Так как 1 делим на 9 — получим меньшую часть, чем если делим на 7.
Значит, $ \frac{1}{7} > \frac{1}{9} $.

Это же правило работает и тогда, когда числитель больше единицы, но одинаковый в обеих дробях.
Например, $ \frac{2}{7} > \frac{2}{9} $, потому что каждая из двух седьмых больше, чем каждая из двух девятых.
То же самое и с $ \frac{5}{7} > \frac{5}{9} $.

Ответ на пункт а):

Объясним, почему:

• $ \frac{1}{7} > \frac{1}{9} $, потому что при одинаковом числителе 1, знаменатель 7 меньше 9, значит, доля больше.
• $ \frac{2}{7} > \frac{2}{9} $, потому что при одинаковом числителе 2, дробь с меньшим знаменателем (7) даёт большую величину.
• $ \frac{5}{7} > \frac{5}{9} $, потому что при одинаковом числителе 5, меньший знаменатель (7) делает дробь больше.

Ответ на пункт б):

Правило сравнения дробей с одинаковыми числителями:
Если у двух дробей одинаковые числители, то та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

И наоборот: дробь меньше, если у неё знаменатель больше.

Ответ на пункт в):

Теперь применим правило:

1) Сравним $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{4}{13} $:
Знаменатели: 7 и 13. 7 < 13 → значит, $ \frac{4}{7} > \frac{4}{13} $

2) Сравним $ \frac{9}{16} $ и $ \frac{9}{10} $:
Знаменатели: 16 и 10. 16 > 10 → значит, $ \frac{9}{16} < \frac{9}{10} $

3) Сравним $ \frac{21}{33} $ и $ \frac{21}{31} $:
Знаменатели: 33 и 31. 33 > 31 → значит, $ \frac{21}{33} < \frac{21}{31} $

Итоговый ответ:

а) Потому что при одинаковом числителе дробь с меньшим знаменателем больше.
б) При одинаковом числителе дробь с меньшим знаменателем больше.
в)
− $ \frac{4}{7} > \frac{4}{13} $
− $ \frac{9}{16} < \frac{9}{10} $
− $ \frac{21}{33} < \frac{21}{31} $