Докажите неравенство:
а) $\frac{133}{900} > \frac{1}{9}$;
б) $\frac{289}{45000} < \frac{1}{15}$;
в) $\frac{73}{1080} > \frac{15}{540}$.

Для начала разберёмся, как сравнивать обыкновенные дроби.

Если дроби с одинаковыми знаменателями, то больше та дробь, у которой числитель больше. Например, $\frac{3}{7} > \frac{2}{7}$, потому что 3 > 2.

Если дроби с разными знаменателями, то их надо привести к общему знаменателю, то есть найти такое число, которое делится и на первый, и на второй знаменатель. После этого мы преобразуем дроби так, чтобы у обеих дробей был одинаковый знаменатель. Тогда мы снова сможем сравнивать числители.

Порядок действий:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей – это общий знаменатель.
2. Привести каждую дробь к этому знаменателю.
3. Сравнить числители.
4. Сделать вывод.

Рассмотрим каждый пункт задания по отдельности.

---

а) $\frac{133}{900} > \frac{1}{9}$

Шаг 1: Найдём общий знаменатель для 900 и 9.

Так как 900 делится на 9, то общий знаменатель — 900.

Шаг 2: Приводим $\frac{1}{9}$ к знаменателю 900.

Находим, на сколько нужно умножить 9, чтобы получить 900:
$$ 900 : 9 = 100 $$
Тогда:
$$ \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 100}{9 \cdot 100} = \frac{100}{900} $$

Шаг 3: Сравним дроби:
$$ \frac{133}{900} \quad \text{и} \quad \frac{100}{900} $$

Так как числитель 133 больше 100, то:
$$ \frac{133}{900} > \frac{100}{900} \Rightarrow \frac{133}{900} > \frac{1}{9} $$

Ответ: доказано.

---

б) $\frac{289}{45000} < \frac{1}{15}$

Шаг 1: Найдём общий знаменатель для 45000 и 15.

45000 делится на 15, значит общий знаменатель — 45000.

Шаг 2: Приведём $\frac{1}{15}$ к знаменателю 45000.

$$ 45000 : 15 = 3000 $$
$$ \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 3000}{15 \cdot 3000} = \frac{3000}{45000} $$

Шаг 3: Сравним дроби:
$$ \frac{289}{45000} \quad \text{и} \quad \frac{3000}{45000} $$

289 < 3000, значит:
$$ \frac{289}{45000} < \frac{3000}{45000} \Rightarrow \frac{289}{45000} < \frac{1}{15} $$

Ответ: доказано.

---

в) $\frac{73}{1080} > \frac{15}{540}$

Шаг 1: Найдём общий знаменатель для 1080 и 540.

Так как 1080 делится на 540 (1080 : 540 = 2), то общий знаменатель — 1080.

Шаг 2: Приведём $\frac{15}{540}$ к знаменателю 1080.

$$ 1080 : 540 = 2 $$
$$ \frac{15}{540} = \frac{15 \cdot 2}{540 \cdot 2} = \frac{30}{1080} $$

Шаг 3: Сравним дроби:
$$ \frac{73}{1080} \quad \text{и} \quad \frac{30}{1080} $$

Числитель 73 больше 30, значит:
$$ \frac{73}{1080} > \frac{30}{1080} \Rightarrow \frac{73}{1080} > \frac{15}{540} $$

Ответ: доказано. ✅

---

Итог:

а) $\frac{133}{900} > \frac{1}{9}$ — доказано.

б) $\frac{289}{45000} < \frac{1}{15}$ — доказано.

в) $\frac{73}{1080} > \frac{15}{540}$ — доказано.