Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, то есть преобразовать каждую дробь так, чтобы у них стали одинаковые знаменатели. После этого сравниваются числители. Давай разберёмся шаг за шагом.

Теоретическая часть:

1. Что такое дробь
Любая обыкновенная дробь записывается в виде:
$$ \frac{a}{b} $$
где $ a $ — числитель, показывает, сколько частей берётся, а $ b $ — знаменатель, показывает, на сколько частей поделено целое. Например, $ \frac{3}{5} $ — это три части из пяти.

2. Когда дроби можно сравнить сразу
Если дроби имеют одинаковые знаменатели (например, $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{5}{7} $), то сравниваются только числители:
$$ \frac{3}{7} < \frac{5}{7}, \text{ потому что } 3 < 5 $$

3. Если знаменатели разные
Когда знаменатели разные, например, $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $, их нельзя сравнить напрямую. Нужно привести дроби к общему знаменателю.

4. Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель — это такое число, которое делится и на первый знаменатель, и на второй. Лучше всего брать наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Как найти НОК (наименьшее общее кратное):
– Разложить каждый знаменатель на простые множители.
– Взять все множители, которые встречаются, по наибольшей степени.
– Перемножить их — получится НОК.

Например:
$$ 3 = 3, \quad 4 = 2 \cdot 2 $$
Значит, НОК(3, 4) = $ 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 $

5. Преобразование дробей к общему знаменателю
Теперь нужно каждую дробь преобразовать так, чтобы в знаменателе стало 12:
$$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12},\quad \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $$

6. Сравнение дробей
Теперь можно сравнивать:
$$ \frac{8}{12} < \frac{9}{12},\quad \text{значит, } \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $$

Итоговый алгоритм для сравнения дробей с разными знаменателями:
1. Найди НОК знаменателей.
2. Приведи дроби к общему знаменателю.
3. Сравни числители дробей.
4. Сделай вывод.