Найдите количество четных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9. Есть ли среди них числа, кратные пяти; девяти?

Чтобы правильно решить задачу, давай сначала разберемся с необходимой теорией.

---

Теоретическая часть

1. Пятизначное число — это число, у которого ровно 5 цифр, и первая цифра не может быть 0 (так как тогда число будет не пятизначным, а четырёхзначным).

2. Чётное число — это число, которое оканчивается на чётную цифру. Цифры считаются чётными, если делятся на 2. Среди предложенных цифр чётными являются: 0, 4, 8.

3. Кратность числу 5 — число делится на 5 (т.е. кратно 5), если оно оканчивается на 0 или 5. Так как среди доступных цифр цифры 5 нет, то только те числа, которые оканчиваются на 0, будут делиться на 5.

4. Кратность числу 9 — число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

5. Комбинаторика с повторениями — так как в задаче не сказано, что цифры должны быть разными, мы можем использовать каждую цифру многократно. Это важно: значит, цифры могут повторяться.

---

Решение задачи

У нас есть цифры: 0, 1, 4, 7, 8, 9 — всего 6 цифр, можно использовать любую из них сколько угодно раз.

Надо найти количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из этих цифр.

---

Шаг 1: Как составить пятизначное чётное число?

Число должно быть пятизначным:

• Первая цифра — не может быть 0.
• Последняя цифра — должна быть чётной: то есть 0, 4 или 8.

Значит, мы перебираем все возможные комбинации из 5 цифр, соблюдая два условия:
− Первая цифра ≠ 0.
− Последняя цифра ∈ {0, 4, 8}.

---

Шаг 2: Вычислим количество таких чисел

Разобьём на позиции:

• 1−я цифра (самая левая): может быть любой цифрой, кроме 0 (иначе число не пятизначное). То есть: из {1, 4, 7, 8, 9} — 5 вариантов.
• 2−я, 3−я, 4−я цифры: могут быть любыми из 6 (включая 0) — по 6 вариантов каждая.
• 5−я цифра (последняя) — должна быть чётной: из {0, 4, 8} — 3 варианта.

Значит, общее количество таких чисел:

$$ 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 = 5 \cdot 216 \cdot 3 = 1080 \cdot 3 = 3240 $$

Ответ: 3240 чётных пятизначных чисел можно составить из этих цифр.

---

Шаг 3: Есть ли среди них числа, кратные 5?

Число кратно 5, если оканчивается на 0 или 5.

Так как цифры: {0, 1, 4, 7, 8, 9}, а 5 отсутствует, то только те числа, которые оканчиваются на 0, будут подходить.

Поэтому, найдём, сколько таких чисел можно составить, если последняя цифра = 0.

• 5−я (последняя) цифра — только 0 (1 вариант).
• 1−я цифра — ≠ 0: из {1, 4, 7, 8, 9} — 5 вариантов.
• 2−я, 3−я, 4−я — любые из 6 — по 6 вариантов.

Всего:

$$ 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1 = 5 \cdot 216 = 1080 $$

Ответ: 1080 чисел из 3240 чётных оканчиваются на 0, значит, они кратны 5.

---

Шаг 4: Есть ли среди них числа, кратные 9?

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Проверим, можно ли среди этих чисел получить такую сумму.

Простой пример: возьмем число 99990.

• Сумма цифр: 9 + 9 + 9 + 9 + 0 = 36.
• 36 делится на 9 — это подходит.

Значит, такие числа есть.

Другой пример: 47790
− Сумма цифр: 4 + 7 + 7 + 9 + 0 = 27.
− 27 делится на 9 — подходит.

Ответ: да, есть числа, кратные 9.

---

Итоговый ответ:

✔ Количество чётных пятизначных чисел: 3240
✔ Количество из них, кратных 5: 1080
✔ Есть ли среди них числа, кратные 9? — Да.