Составьте три треугольных и три квадратных числа. Найдите закономерность составления и треугольных, и квадратных чисел.

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

ГДЗ Математика 5 класс Виленкин (базовый уровень) часть 1. 34. Упражнения. Номер №5.353

Решение

Треугольные числа
Решение рисунок 1
Если рассмотреть треугольные числа можно заметить, что каждый последующий ряд содержит на одну точку больше, чем предыдущий.
Число 3
1−ый ряд: 1
2−ой ряд: 1 + 1 = 2

Число 6
1−ый ряд: 1
2−ой ряд: 1 + 1 = 2
3−ий ряд: 2 + 1 = 3

Число 10
1−ый ряд: 1
2−ой ряд: 1 + 1 = 2
3−ий ряд: 2 + 1 = 3
4−ый ряд: 3 + 1 = 4

Поэтому треугольные числа можно представить в виде суммы n последовательных натуральных чисел.
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
и т.д.

Квадратные числа
Решение рисунок 2
Если рассмотреть квадратные числа можно заметить, что каждое из квадратных чисел является второй степенью (квадратом) натурального числа.
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
$25 = 5^2$
$36 = 6^2$
и т.д.

Стоит отметить, что единица является как треугольным, так и квадратным числом.

Дополнительное решение

Теоретическая часть

Перед тем как приступить к выполнению задания, вспомним, что означают треугольные и квадратные числа.

Треугольные числа — это такие числа, которые можно представить в виде треугольной фигуры, сложенной из точек (или фишек).

Например:

Первое треугольное число — 1 (одна точка).
Второе — 3 (одна точка наверху, под ней два).
Третье — 6 (1 + 2 + 3 точки).
Четвёртое — 10 (1 + 2 + 3 + 4) и так далее.

Чтобы найти n−е треугольное число, нужно сложить все натуральные числа от 1 до n:

$T_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) : 2$

Примеры первых треугольных чисел:

T₁ = 1
T₂ = 1 + 2 = 3
T₃ = 1 + 2 + 3 = 6
T₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
T₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
T₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
и т.д.

Квадратные числа — это такие числа, которые получаются в результате умножения числа на само себя. Их можно представить в виде квадрата, сложенного из точек.

Например:

Первое квадратное число — 1 * 1 = 1
Второе — 2 * 2 = 4
Третье — 3 * 3 = 9
Четвёртое — 4 * 4 = 16
И так далее.

Формула n−го квадратного числа:

$Q_n = n²$

Примеры первых квадратных чисел:

Q₁ = 1² = 1
Q₂ = 2² = 4
Q₃ = 3² = 9
Q₄ = 4² = 16
Q₅ = 5² = 25
Q₆ = 6² = 36
и т.д.

Теперь выполним задание

Треугольные числа:

1. T₁ = 3
2. T₂ = 1 + 2 + 3 = 6
3. T₃ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Ответ: 3, 6, 10

Квадратные числа:

1. Q₁ = 2² = 4
2. Q₂ = 3² = 9
3. Q₃ = 4² = 16

Ответ: 4, 6, 9

Найдём закономерность:

— Для треугольных чисел: каждое следующее число получается прибавлением следующего натурального числа.
Например:
1 → 1 + 2 = 3 → 3 + 3 = 6 → 6 + 4 = 10 и т.д.
Формула: $T_n = n(n + 1) : 2$

— Для квадратных чисел: каждое число — это произведение числа на само себя.
1, 4, 9, 16, 25...
Формула: $Q_n = n²$

Ответ:

Треугольные числа: 3, 6, 10.
Квадратные числа: 4, 9, 16.

Закономерности:

Треугольные числа получаются по формуле: $T_n = n(n + 1) : 2$
Квадратные числа получаются по формуле: $Q_n = n²$