Какое число можно записать вместо x, чтобы верным стало равенство:
а) $\frac{1}{3} = \frac{3}{x}$;
б) $\frac{2}{6} = \frac{x}{18}$;
в) $\frac{3}{5} = \frac{9}{x}$;
г) $\frac{10}{30} = \frac{x}{60}$?

Чтобы решить задачи, где требуется найти неизвестное число в равенстве двух дробей (пропорции), нужно вспомнить, что такое пропорция.

Теория:

Пропорция — это равенство двух отношений (дробей). Например:
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Если три числа известны, а одно — неизвестно, можно найти это неизвестное, используя свойство: при равных дробях, если один числитель и один знаменатель известны, нужно найти недостающее число по правилу: "умножить известные числа по диагонали и разделить на оставшееся число". Это можно представить следующим образом:

Если:
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, $$
и нужно найти, например, $ d $, то:
$$ d = \frac{b \cdot c}{a} $$

Решение и объяснение каждой задачи:

а)
$$ \frac{1}{3} = \frac{3}{x} $$
Чтобы найти $ x $, нужно:
$$ x = \frac{3 \cdot 3}{1} = 9 $$

Проверка:
$$ \frac{1}{3} = \frac{3}{9}, \quad \text{так как} \quad 1 \cdot 9 = 3 \cdot 3 = 9 $$

б)
$$ \frac{2}{6} = \frac{x}{18} $$
Найдём $ x $:
$$ x = \frac{2 \cdot 18}{6} = \frac{36}{6} = 6 $$

Проверка:
$$ \frac{2}{6} = \frac{6}{18}, \quad \text{так как} \quad 2 \cdot 18 = 6 \cdot 6 = 36 $$

в)
$$ \frac{3}{5} = \frac{9}{x} $$
Найдём $ x $:
$$ x = \frac{5 \cdot 9}{3} = \frac{45}{3} = 15 $$

Проверка:
$$ \frac{3}{5} = \frac{9}{15}, \quad \text{так как} \quad 3 \cdot 15 = 5 \cdot 9 = 45 $$

г)
$$ \frac{10}{30} = \frac{x}{60} $$
Найдём $ x $:
$$ x = \frac{10 \cdot 60}{30} = \frac{600}{30} = 20 $$

Проверка:
$$ \frac{10}{30} = \frac{20}{60}, \quad \text{так как} \quad 10 \cdot 60 = 30 \cdot 20 = 600 $$

Ответ:
а) $ x = 9 $
б) $ x = 6 $
в) $ x = 15 $
г) $ x = 20 $