а) Справедливы ли равенства:
$1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2$;
$1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2$;
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$?
б) Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами.
в) Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.
а)
$1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2$
$1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$
9 = 9 − равенство справедливо
$1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$
$(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36$
36 = 36 − равенство справедливо
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$
$(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100$
100 = 100 − равенство справедливо
б)
Свойство: Сумма кубов первых натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.
$
1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2.
$
в)
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 225 + 559 = 784$
$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2 = 28^2 = 784$
784 = 784 − равенство справедливо
Вычисления:
$\snippet{name: op_column, sign: '+', x: '216', y: '343', z: '559 '}$
$\snippet{name: op_column, sign: '+', x: '225', y: '559', z: '784 '}$
а) Проверим каждое из равенств.
$ 1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2 $
Сначала найдем значения левой и правой частей равенства:
$
\quad 1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9.
$
$
\quad (1 + 2)^2 = 3^2 = 9.
$
Левая и правая части равны, значит, равенство справедливо.
$ 1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2 $
Снова вычислим:
$
\quad 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36.
$
$
\quad (1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36.
$
Левая и правая части равны, значит, равенство справедливо.
$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2 $
Вычислим:
$
\quad 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.
$
$
\quad (1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100.
$
Левая и правая части равны, значит, равенство справедливо.
б) Свойство:
Сумма кубов первых $ n $ натуральных чисел равна квадрату их суммы:
$
1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2.
$
в) Проверим это свойство для $ n = 7 $, то есть для первых семи чисел.
Найдем сумму кубов:
$
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784.
$
Найдем квадрат суммы:
$
\quad (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2 = 28^2 = 784.
$
Левая и правая части равны, значит, свойство выполняется для семи чисел.
Пожаулйста, оцените решение
