Развивай воображение. Куб, окрашенный в синий цвет, разрезали на 64 равных маленьких кубика. Сколько среди них кубиков, у которых окрашено:
а) три грани;
б) две грани;
в) одна грань?

Чтобы решить эту задачу, сначала разберёмся с теорией.

Теоретическая часть.

Куб — это геометрическое тело, у которого 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер.

Если большой куб разрезан на 64 равных маленьких кубика, то:

• 64 = 4 × 4 × 4, значит, каждая сторона большого куба поделена на 4 части — то есть большой куб состоит из 4 кубиков по длине, 4 по ширине и 4 по высоте.
• Значит, в каждом ряду по 4 кубика, и всего 4 × 4 × 4 = 64 маленьких кубика.

Теперь определим, какие маленькие кубики имеют окрашенные грани.

1. Кубики с тремя окрашенными гранями.

Такие кубики находятся в углах большого куба. У каждого угла большого куба сходятся 3 грани, и если куб целиком окрашен, то у каждого углового маленького кубика будут окрашены 3 его грани.

В кубе 8 углов, значит, 8 кубиков с тремя окрашенными гранями.

Ответ: 8 кубиков.

\2. Кубики с двумя окрашенными гранями.

Они находятся на рёбрах, но не в углах. То есть, это кубики, которые стоят на рёбрах большого куба, между угловыми кубиками.

• У куба 12 рёбер.
• На каждом ребре 4 маленьких кубика (так как по 4 деления), но угловые кубики — это по одному на каждом конце ребра, они уже учтены в предыдущем пункте.
• Значит, на каждом ребре остаётся 2 внутренних кубика (между углами), у которых окрашены 2 грани (это те грани, которые граничат с внешними сторонами куба).

Итак:
12 рёбер × 2 кубика = 24 кубика с двумя окрашенными гранями.

Ответ: 24 кубика.

3. Кубики с одной окрашенной гранью.

Эти кубики находятся в центре каждой грани большого куба, но не на рёбрах и не в углах. То есть, внутри каждой грани, но окружённые другими кубиками.

• У куба 6 граней.
• На каждой грани — квадрат 4×4 = 16 кубиков.
• Из них:
  • 4 угловых кубика грани (по углам грани) — они уже учтены в пункте (а), потому что они углы всего куба.
  • По краям грани (но не в углах) — кубики на рёбрах: их 4 (по сторонам) × (4 – 2) = 4 × 2 = 8 кубиков (по 2 кубика на каждую сторону грани).
  • И остаются 4 внутренних кубика в центре каждой грани (внутри 4×4 квадрата, это квадрат 2×2 в середине грани).

Таким образом, на одной грани — 4 кубика с одной окрашенной гранью.

А у куба 6 граней:

6 × 4 = 24 кубика с одной окрашенной гранью.

Ответ: 24 кубика.

Итак, окончательные ответы:
а) 8 кубиков (три грани);
б) 24 кубика (две грани);
в) 24 кубика (одна грань).