Муравей бежит по куску дерева, имеющему форму куба. Как ему попасть из какой−либо вершины куба в противоположную (рис.5.33) кратчайшим путем? Сколько таких путей существует?
Чтобы муравью попасть из какой−либо вершины куба в противоположную кратчайшим путем на каждой из граней ему нужно идти из вершины к середине противоположного ребра, а затем из середины противоположного ребра к противоположной вершине.
Вершина M имеет 3 смежные грани, и по каждой из них муравей может пойти двумя путями (к серединам двух противоположных ребер), а затем у него остается всего один путь до вершины N, значит:
3 * 2 * 1 = 6 (путей) − всего существует.
Ответ: 6 путей
Путь №1
Путь №2
Путь №3
Путь №4
Путь №5
Путь №6
Теоретическая часть:
Куб имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Противоположными вершинами называют такие, которые находятся на максимальном удалении друг от друга — соединены диагональю всего куба. В задаче муравей должен попасть из вершины M в противоположную вершину N, двигаясь по поверхности куба (то есть по его граням, не проходя "внутри" куба).
Кратчайший путь по поверхности куба между двумя противоположными вершинами — это развёртка куба, при которой путь по трём смежным граням будет минимально возможным. На каждой грани муравей будет идти по диагонали.
Решение:
Муравей может выбрать разные комбинации из трёх граней, по которым он будет двигаться. Из вершины куба выходит 3 ребра, ведущих к смежным граням. Каждое направление (вдоль длины, ширины и высоты) он должен пройти один раз.
Это задача на перестановки: сколько существует способов переставить 3 направления движения?
Это:
$$
3! = 1 * 2 * 3 = 6 \text{ путей}
$$
Ответ:
Муравей может добраться из вершины M в противоположную вершину N кратчайшим путём по трём смежным граням куба. Таких кратчайших путей существует 6.
Пожаулйста, оцените решение
