Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?

Основное свойство дроби гласит:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

В буквенном виде это можно записать так:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$, где $n$ − любое натуральное число.

И

$\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$, где $n$ − общий делитель $a$ и $b$.

Применение основного свойства дроби:

1. Сокращение дробей:
Чтобы упростить дробь, можно разделить её числитель и знаменатель на их общий делитель. Этот процесс называется сокращением дроби. Например:

$\frac{15}{25} = \frac{15:5}{25:5} = \frac{3}{5}$

Здесь мы разделили и числитель (15), и знаменатель (25) на их общий делитель (5).

2. Приведение дробей к общему знаменателю:
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножают на подходящий множитель, чтобы получить желаемый общий знаменатель. Например, приведем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{5}$ к общему знаменателю 10:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, и их можно складывать или вычитать.

3. Сравнение дробей с разными знаменателями:
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их также приводят к общему знаменателю, а затем сравнивают числители. Например, сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$:

Приведем обе дроби к общему знаменателю 28:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28}$

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}$

Так как $\frac{21}{28} > \frac{20}{28}$, то $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$.

4. Представление чисел в разных формах:
Основное свойство дроби позволяет представлять одно и то же число в виде разных дробей, что бывает полезно при решении различных задач. Например:

$2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{20}{10}$