Как найти произведение и частное двух дробей?

Для того чтобы успешно решать задачи с дробями, давай вспомним основные понятия и правила.

1. Что такое дробь?

Дробь — это способ записи числа, которое представляет собой часть целого. Дробь состоит из числителя и знаменателя, разделённых дробной чертой:

• Числитель (верхнее число) показывает, сколько частей мы берём.
• Знаменатель (нижнее число) показывает, на сколько равных частей разделено целое.

Например, в дроби $\frac{3}{5}$:
* 3 — это числитель (берём 3 части)
* 5 — это знаменатель (целое разделено на 5 частей)

2. Умножение дробей

Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно:

1. Перемножить числители обеих дробей. Результат записать в числитель новой дроби.
2. Перемножить знаменатели обеих дробей. Результат записать в знаменатель новой дроби.

Формула:

$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$

Пример:

$\frac{2}{3} * \frac{4}{5} = \frac{2 * 4}{3 * 5} = \frac{8}{15}$

3. Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно:

1. Заменить деление умножением на дробь, обратную делителю. Обратная дробь получается путём перестановки числителя и знаменателя.
2. Умножить первую дробь (делимое) на обратную дробь (обратную делителю).

Формула:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a * d}{b * c}$

Пример:

$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} * \frac{5}{4} = \frac{2 * 5}{3 * 4} = \frac{10}{12}$

После умножения или деления дробей, если возможно, дробь нужно упростить, сократив числитель и знаменатель на их общий делитель. В примере выше, дробь $\frac{10}{12}$ можно сократить на 2:

$\frac{10}{12} = \frac{10 : 2}{12 : 2} = \frac{5}{6}$

4. Деление дроби на натуральное число

Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно:

1. Представить натуральное число как дробь со знаменателем 1 (например, 5 = $\frac{5}{1}$).
2. Разделить дробь на полученную дробь (как описано в пункте 3). Или, что тоже самое, умножить знаменатель дроби на это число, а числитель оставить без изменений.

Формула:

$\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b} : \frac{n}{1} = \frac{a}{b} * \frac{1}{n} = \frac{a}{b * n}$

Пример:

$\frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{3} : \frac{4}{1} = \frac{2}{3} * \frac{1}{4} = \frac{2 * 1}{3 * 4} = \frac{2}{12}$

Сокращаем:
$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$