Как найти сумму и разность двух дробей?

Для того чтобы найти сумму или разность двух дробей, нужно понимать несколько важных моментов.

1. Что такое дробь? Дробь − это способ записи числа, которое представляет собой часть целого. Дробь состоит из числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число). Например, в дроби $\frac{3}{5}$ число 3 − это числитель, а число 5 − это знаменатель. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель показывает, сколько таких частей взято.

2. Дроби с одинаковыми знаменателями. Самый простой случай − когда у дробей одинаковые знаменатели.

• Сумма дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Например: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

• Разность дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы вычесть одну дробь из другой (с одинаковыми знаменателями), нужно вычесть числитель вычитаемой дроби из числителя уменьшаемой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например: $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9}$

3. Дроби с разными знаменателями. Если у дробей разные знаменатели, то перед сложением или вычитанием их нужно привести к общему знаменателю.

• Что такое общий знаменатель? Общий знаменатель − это число, которое делится на каждый из знаменателей данных дробей. Обычно в качестве общего знаменателя берут наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
• Как привести дроби к общему знаменателю?

1. Найти общий знаменатель (например, НОК знаменателей).
2. Для каждой дроби определить дополнительный множитель. Дополнительный множитель − это число, которое нужно умножить на знаменатель исходной дроби, чтобы получить общий знаменатель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

• Сумма и разность дробей с разными знаменателями: После того как дроби приведены к общему знаменателю, можно складывать или вычитать их числители (знаменатель остается общим).

Например: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

1. Общий знаменатель для 2 и 3 − это 6 (так как 6 делится и на 2, и на 3).
2. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{2}$ равен 3 (так как $2 \cdot 3 = 6$).
3. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{3}$ равен 2 (так как $3 \cdot 2 = 6$).
4. Приводим дроби к общему знаменателю:
* $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
* $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
5. Складываем дроби: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

Аналогично для вычитания:

Например: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

1. Общий знаменатель для 3 и 4 − это 12.
2. Дополнительный множитель для дроби $\frac{2}{3}$ равен 4.
3. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{4}$ равен 3.
4. Приводим дроби к общему знаменателю:
* $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
* $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
5. Вычитаем дроби: $\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12}$