Всегда ли верно:
а) если каждое слагаемое кратно числу n, то и сумма кратна числу n;
б) если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n?

Для решения этой задачи нам потребуется знание о делимости чисел и свойствах делимости суммы и разности. Давай вспомним основные понятия и свойства, которые нам понадобятся.

Теория:

1. Делимость чисел: Говорят, что число a делится на число n (или кратно числу n), если существует такое целое число k, что a = n * k. Например, 12 делится на 3, потому что 12 = 3 * 4.

2. Свойства делимости суммы:

• Если каждое слагаемое в сумме делится на число n, то и вся сумма делится на число n.
• Если одно слагаемое делится на число n, а другое не делится на число n, то и вся сумма не делится на число n.

3. Свойства делимости разности:

• Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число n, то и разность делится на число n.
• Если уменьшаемое и вычитаемое не делятся на число n, то разность может делиться, а может и не делиться на число n.

Теперь, когда мы повторили теорию, давай решим задачу.

Решение:

а) Если каждое слагаемое кратно числу n, то и сумма кратна числу n.

Это утверждение всегда верно. Это прямо следует из свойства делимости суммы. Если каждое слагаемое можно представить в виде n * k, где k − целое число, то и сумма будет делиться на n.

Например:

Пусть у нас есть сумма a + b + c, и каждое слагаемое кратно числу n. Тогда:
a = n * k1
b = n * k2
c = n * k3

Сумма:
a + b + c = n * k1 + n * k2 + n * k3 = n * (k1 + k2 + k3)

Так как k1 + k2 + k3 − это тоже целое число, то вся сумма кратна числу n.

б) Если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n?

Это утверждение не всегда верно. Чтобы показать, что утверждение не всегда верно, достаточно привести контрпример.

Контрпример:

Пусть n = 5.
Возьмем уменьшаемое a = 16 (не кратно 5) и вычитаемое b = 6 (не кратно 5).
Тогда разность a − b = 16 − 6 = 10.
Разность 10 кратна 5 (10 = 5 * 2). В этом случае утверждение выполняется.

Теперь возьмем уменьшаемое a = 17 (не кратно 5) и вычитаемое b = 7 (не кратно 5).
Тогда разность a − b = 17 − 7 = 10.
Разность 10 кратна 5 (10 = 5 * 2). В этом случае утверждение выполняется.

Рассмотрим другой пример:

Пусть n = 5.
Возьмем уменьшаемое a = 16 (не кратно 5) и вычитаемое b = 3 (не кратно 5).
Тогда разность a − b = 16 − 3 = 13.
Разность 13 не кратна 5. В этом случае утверждение не выполняется.

Ответ:

а) Всегда верно.

б) Не всегда верно.