а) Какое наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2 делится на 6?
б) Существует ли натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, которое делится на 6? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о делимости чисел. Давай вспомним основные признаки делимости, которые нам пригодятся:

Признаки делимости:

• Делимость на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6 или 8).
• Делимость на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Делимость на 6: Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно.

Теперь, когда мы повторили признаки делимости, мы можем приступить к решению задачи.

а) Какое наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2 делится на 6?

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3.
Так как число должно быть записано только с помощью цифры 2, то нам нужно подобрать такое число, чтобы оно удовлетворяло признакам делимости на 2 и на 3.

1. Делимость на 2: Любое число, записанное только цифрой 2, будет делиться на 2, потому что оно будет заканчиваться на четную цифру 2.

2. Делимость на 3: Теперь нам нужно подобрать такое число, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

• Число 2 (одна цифра 2): Сумма цифр равна 2. 2 не делится на 3.
• Число 22 (две цифры 2): Сумма цифр равна 2 + 2 = 4. 4 не делится на 3.
• Число 222 (три цифры 2): Сумма цифр равна 2 + 2 + 2 = 6. 6 делится на 3.

Итак, число 222 делится и на 2, и на 3, а значит, оно делится и на 6. Это наименьшее такое число, потому что мы проверили все меньшие варианты.

Ответ: 222

б) Существует ли натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, которое делится на 6? Ответ обоснуйте.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3.
В данном случае, число должно быть записано только с помощью цифры 3.

1. Делимость на 2: Число, записанное только цифрой 3, всегда будет заканчиваться на цифру 3. А так как цифра 3 нечетная, то число не будет делиться на 2.

2. Делимость на 6: Так как число не делится на 2, то оно автоматически не может делиться на 6, даже если оно делится на 3.

Ответ: Не существует натурального числа, записанного только с помощью цифры 3, которое делится на 6, так как любое такое число не будет делиться на 2.