Найдите наименьшее число, которое кратно каждому из трех чисел:
а) 2, 5 и 15;
б) 2, 4 и 5;
в) 3, 6 и 12;
г) 2, 7 и 5.

Для решения этой задачи нам нужно понять, что такое "наименьшее общее кратное" (НОК).

Теория:

• Кратное числа: Кратным числа называется число, которое делится на данное число без остатка. Например, кратными числа 3 являются 6, 9, 12, 15 и так далее.
• Общее кратное: Общим кратным двух или нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, общими кратными чисел 2 и 3 являются числа 6, 12, 18 и так далее.
• Наименьшее общее кратное (НОК): Наименьшим общим кратным двух или нескольких чисел называется самое маленькое число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, НОК чисел 2 и 3 является число 6.

Как найти НОК:

1. Разложить числа на простые множители: Простые множители − это числа, которые делятся только на 1 и на самих себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).
2. Выписать все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел: Если какой−то множитель встречается в разложении нескольких чисел, его нужно взять один раз с наибольшей степенью, в которой он встречается.
3. Перемножить выписанные простые множители: Полученное произведение и будет наименьшим общим кратным.

Примеры:

• Найдем НОК чисел 4 и 6.
  • Разложим 4 на простые множители: 4 = 2 * 2 = 2^2
  • Разложим 6 на простые множители: 6 = 2 * 3
  • Выпишем все простые множители: 2^2 (из разложения числа 4) и 3 (из разложения числа 6).
  • Перемножим их: 2^2 * 3 = 4 * 3 = 12. Значит, НОК(4, 6) = 12.

Теперь решим задачи из учебника:

а) 2, 5 и 15:

• Разложим 2 на простые множители: 2 = 2
• Разложим 5 на простые множители: 5 = 5
• Разложим 15 на простые множители: 15 = 3 * 5
• Выпишем все простые множители: 2, 3, 5
• Перемножим их: 2 * 3 * 5 = 30

Ответ: 30

б) 2, 4 и 5:

• Разложим 2 на простые множители: 2 = 2
• Разложим 4 на простые множители: 4 = 2 * 2 = 2^2
• Разложим 5 на простые множители: 5 = 5
• Выпишем все простые множители: 2^2, 5
• Перемножим их: 2^2 * 5 = 4 * 5 = 20

Ответ: 20

в) 3, 6 и 12:

• Разложим 3 на простые множители: 3 = 3
• Разложим 6 на простые множители: 6 = 2 * 3
• Разложим 12 на простые множители: 12 = 2 * 2 * 3 = 2^2 * 3
• Выпишем все простые множители: 2^2, 3
• Перемножим их: 2^2 * 3 = 4 * 3 = 12

Ответ: 12

г) 2, 7 и 5:

• Разложим 2 на простые множители: 2 = 2
• Разложим 7 на простые множители: 7 = 7
• Разложим 5 на простые множители: 5 = 5
• Выпишем все простые множители: 2, 5, 7
• Перемножим их: 2 * 5 * 7 = 70

Ответ: 70