Сравните значение выражений:
а) $3 * 2^{3}$ и $(3 * 2)^{3}$;
б) $2^{4} * 2$ и $2^{4}$;
в) $(4 * 3)^{2}$ и $4^{2} * 3^{2}$;
г) $2^{3} * 2^{5}$ и $2^{8}$.

Прежде чем сравнивать значения выражений, давай вспомним, что такое степень числа и как выполняются действия со степенями.

Теория

1. Степень числа: Степень показывает, сколько раз число (основание степени) умножается само на себя. Например, $a^n$ означает, что число $a$ умножается само на себя $n$ раз:

$a^n = a * a * ... * a$ ($n$ раз)

• $a$ − основание степени
• $n$ − показатель степени

Например:

• $2^3 = 2 * 2 * 2 = 8$
• $5^2 = 5 * 5 = 25$

2. Свойства степеней:

• $(a * b)^n = a^n * b^n$ (степень произведения равна произведению степеней)
• $a^m * a^n = a^{m+n}$ (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются)

Теперь, когда мы вспомнили основные понятия, давай проверим и, при необходимости, исправим твои решения.

Решение

а) $3 * 2^{3}$ и $(3 * 2)^{3}$;

• $3 * 2^{3} = 3 * (2 * 2 * 2) = 3 * 8 = 24$
• $(3 * 2)^{3} = 6^{3} = 6 * 6 * 6 = 216$

24 < 216, значит:

$3 * 2^{3} < (3 * 2)^{3}$

б) $2^{4} * 2$ и $2^{4}$;

• $2^{4} * 2 = (2 * 2 * 2 * 2) * 2 = 16 * 2 = 32$ Можно представить 2 как $2^1$, тогда $2^{4} * 2 = 2^{4} * 2^{1} = 2^{4+1} = 2^5 = 32$
• $2^{4} = 2 * 2 * 2 * 2 = 16$

32 > 16, значит:

$2^{4} * 2 > 2^{4}$

в) $(4 * 3)^{2}$ и $4^{2} * 3^{2}$;

• $(4 * 3)^{2} = 12^{2} = 12 * 12 = 144$
• $4^{2} * 3^{2} = (4 * 4) * (3 * 3) = 16 * 9 = 144$

144 = 144, значит:

$(4 * 3)^{2} = 4^{2} * 3^{2}$

г) $2^{3} * 2^{5}$ и $2^{8}$.

• $2^{3} * 2^{5} = (2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2 * 2 * 2) = 8 * 32 = 256$ Или, используя свойство степеней: $2^{3} * 2^{5} = 2^{3+5} = 2^{8}$
• $2^{8} = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 256$

256 = 256, значит:

$2^{3} * 2^{5} = 2^{8}$