Установите, верно ли равенство:
а) $5^{3} * 2^{3} = 10^{3}$;
б) $3^{3} * 3^{2} = 3^{6}$;
в) $5^{2} * 2^{2} = (5 * 2)^{4}$;
г) $3^{3} * 3^{2} = 3^{5}$.

Для решения этой задачи, нам нужно понимать, что такое степень числа и как выполнять действия со степенями. Давай разберемся!

Теория:

1. Степень числа: Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя. Например, $a^n$ означает, что число $a$ умножается само на себя $n$ раз:
$a^n = a * a * ... * a$ (n раз)

• $a$ − это основание степени
• $n$ − это показатель степени

Пример: $2^3 = 2 * 2 * 2 = 8$
Здесь 2 − основание, 3 − показатель степени, а 8 − значение степени.

2. Свойства степеней: Нам понадобятся следующие свойства:

• Умножение степеней с одинаковым основанием: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
  $a^m * a^n = a^{m+n}$
  Пример: $2^2 * 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$

• Степень произведения: Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя:
  $(a * b)^n = a^n * b^n$
  Пример: $(2 * 3)^2 = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36$

Теперь, когда мы вспомнили теорию, давай проверим равенства из задания.

а) $5^{3} * 2^{3} = 10^{3}$

• Левая часть: $5^{3} * 2^{3} = (5 * 2)^{3} = 10^{3}$ (используем свойство степени произведения)
• Правая часть: $10^{3}$
• Так как левая часть равна правой части, равенство верно.

б) $3^{3} * 3^{2} = 3^{6}$

• Левая часть: $3^{3} * 3^{2} = 3^{3+2} = 3^{5}$ (используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием)
• Правая часть: $3^{6}$
• Так как $3^{5}$ не равно $3^{6}$, равенство неверно.

в) $5^{2} * 2^{2} = (5 * 2)^{4}$

• Левая часть: $5^{2} * 2^{2} = (5 * 2)^{2} = 10^{2}$ (используем свойство степени произведения)
• Правая часть: $(5 * 2)^{4} = 10^{4}$
• Так как $10^{2}$ не равно $10^{4}$, равенство неверно.

г) $3^{3} * 3^{2} = 3^{5}$

• Левая часть: $3^{3} * 3^{2} = 3^{3+2} = 3^{5}$ (используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием)
• Правая часть: $3^{5}$
• Так как левая часть равна правой части, равенство верно.

Ответ:

а) Равенство верно.
б) Равенство неверно.
в) Равенство неверно.
г) Равенство верно.