Каким может быть остаток?
Можно ли разделить остаток, чтобы закончить деление?
Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.
Когда говорят, что число делится нацело?

Для того чтобы ответить на все вопросы, давай подробно разберём основные понятия, связанные с делением с остатком в математике.

Теоретическая часть

1. Что такое деление с остатком?

Когда мы делим одно число на другое, не всегда получается целый результат. Например, если разделить 10 на 3, получится 3 целых, а 1 останется. Это и есть деление с остатком.

Обозначается так:

$ 10 : 3 = 3 \text{ (целых)}, \text{ остаток } 1 $

Можно записать это в виде формулы:

$ делимое = делитель * частное + остаток $

В нашем примере:

$ 10 = 3 * 3 + 1 $

2. Каким может быть остаток?

Остаток при делении всегда меньше делителя и не может быть отрицательным. То есть:

$ 0 \le \text{остаток} < \text{делитель} $

Например:
− $ 10 : 3 = 3$, остаток 1 — верно, потому что $1 < 3$
− $ 14 : 5 = 2$, остаток 4 — верно, потому что $4 < 5$

3. Можно ли разделить остаток, чтобы закончить деление?

Если мы говорим о делении натуральных чисел, то остаток не делится, потому что он — результат, который остался после деления нацело. Мы не можем разделить его, чтобы "закончить" деление — оно уже завершилось.

Но если мы разрешим использовать дроби, то можно продолжить деление. Например:

$ 10 : 3 = 3 \text{ (остаток 1)} \Rightarrow 10 : 3 = 3 \frac{1}{3} $

То есть остаток превратится в дробную часть.

Но если задача по делению с остатком, то мы не продолжаем деление, а оставляем его в виде частного и остатка.

4. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком

Если известно:
− делитель $d$,
− частное $q$,
− остаток $r$,

то делимое $a$ можно найти по формуле:

$ a = d \cdot q + r $

Пример: пусть частное 4, делитель 5, остаток 2. Тогда:

$ a = 5 \cdot 4 + 2 = 20 + 2 = 22 $

Значит, $22 : 5 = 4$, остаток 2.

5. Когда говорят, что число делится нацело?

Число делится нацело, если остаток равен нулю. То есть, после деления не осталось ничего.

Примеры:

• $12 : 4 = 3$, остаток 0 → делится нацело
• $15 : 5 = 3$, остаток 0 → делится нацело
• $17 : 4 = 4$ остаток 1 → не делится нацело

Выводы:

• Остаток всегда меньше делителя.
• Остаток не делится дальше (в натуральных числах), деление на этом заканчивается.
• Делимое при делении с остатком: $a = d \cdot q + r$
• Число делится нацело, если остаток равен 0.