Четырехзначные числа составили из цифр 0, 2, 4, 6, 8, которые в записи числа не повторяются. Сколько таких чисел можно составить?

Для решения этой задачи сначала разберёмся с теорией.

Когда мы составляем числа из заданных цифр, мы используем перестановки — это размещения всех элементов множества в определённом порядке, без повторений. Однако, если нам нужно составлять только те числа, которые удовлетворяют дополнительным условиям (например, четырёхзначные, не начинаются с 0 и т.п.), мы должны учитывать эти ограничения при подсчёте.

В данной задаче:

• У нас есть пять цифр: 0, 2, 4, 6, 8.
• Цифры не повторяются в числе.
• Нужно составить четырёхзначные числа — то есть числа от 1000 до 9999.
• Число не может начинаться с нуля, иначе оно не будет четырёхзначным.

Теперь перейдём к пошаговому решению.

Шаг 1: Общее количество четырёхзначных чисел, которые можно составить из 5 данных цифр, без повторений.

Нам нужно выбрать 4 цифры из 5 и расставить их в порядке.

Но при этом нам нужно исключить те варианты, в которых на первом месте стоит 0.

Подход: переберём все возможные подходящие варианты.

Всего цифр — 5: 0, 2, 4, 6, 8.
Всего четырёхзначных чисел можно составить столько, сколько существует размещений без повторений из 5 по 4, но с учётом того, что первая цифра не должна быть 0.

Общий подход:

1. Выбираем первую цифру (разряды тысяч): она не может быть 0.
Значит, на первую позицию годятся только цифры: 2, 4, 6, 8 — всего 4 варианта.

2. После выбора первой цифры остаются ещё 4 цифры (включая 0, если он ещё не выбран), из которых мы выбираем 3 оставшиеся цифры без повторений и расставляем их на оставшиеся 3 позиции (сотни, десятки, единицы).

Это — размещения из 4 по 3: $ A_4^3 = 4 * 3 * 2 = 24 $

3. Для каждого из 4 возможных вариантов первой цифры — по 24 варианта остальных цифр.

Итак, общее количество таких чисел:
$$ 4 * 24 = 96 $$

Ответ: 96 четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8 без повторений.