а) Используйте циркуль, отметьте точки A(n + m) и B(n − m) (рис. 2.16, а).
б) Объясните смысл сочетательного свойства сложения, используя рисунок 2.16, б.
в) Объясните остальные свойства сложения и вычитания, используя рисунки.

Перед тем как дать ответы на вопросы, разберём теоретическую часть.

Теория:

1. Сложение на координатном луче:
Если точка M соответствует числу m, то чтобы прибавить к m число k, мы от точки M откладываем отрезок длиной k вправо. Получается точка, которая соответствует числу m + k.

2. Вычитание на координатном луче:
Если от числа n вычесть m, то это означает движение влево от точки, соответствующей n, на m единиц. Получаем точку n − m.

3. Свойства сложения:
− Переместительное свойство (перестановка):
m + k = k + m
− Сочетательное свойство (группировка):
(m + k) + r = m + (k + r)
− Свойство нуля:
m + 0 = m

4. Свойства вычитания:
− m − 0 = m
− m − m = 0
− m − (n + k) = m − n − k, если m > n + k
− (m + n) − k = m + (n − k), если n ≥ k
− (m + n) − k = (m − k) + n, если m ≥ k

Решение:

а) Используйте циркуль, отметьте точки A(n + m) и B(n − m) (рис. 2.16, а).

На координатном луче отмечены точки:
− O — начало отсчёта, соответствует 0;
− M — соответствует числу m;
− N — соответствует числу n.

Чтобы получить точку A(n + m), из точки N откладываем расстояние, равное m, вправо. Так как число n + m больше n, точка A будет правее точки N.

Чтобы получить точку B(n − m), из точки N откладываем расстояние, равное m, влево. Получим точку B, которая соответствует n − m. Она находится слева от N, если n > m.

б) Объясните смысл сочетательного свойства сложения, используя рисунок 2.16, б.

На рисунке видно:
− От точки M (значение m) откладываем вправо k, получаем точку K:
m + k = значение точки K.
− Затем от точки K откладываем r, получаем точку R:
(m + k) + r = значение точки R.

Альтернативно, можно сразу от точки M отложить сумму (k + r) — получится та же точка R.

Это иллюстрирует сочетательное свойство сложения:
(m + k) + r = m + (k + r)

в) Объясните остальные свойства сложения и вычитания, используя рисунки.

1. Переместительное свойство сложения:
На рисунке видно, что:
− если сначала от 0 отложить m, а потом k, получим значение m + k;
− если сначала отложить k, а потом m, получим то же значение k + m.

Значит:
m + k = k + m

2. Свойство нуля при сложении:
Рисунок показывает, что если к 0 прибавить m, мы получим точку m.
То есть:
0 + m = m

3. Свойство вычитания суммы из числа:
На рисунке видно, что если из m вычесть сумму (n + k), это то же самое, что сначала вычесть n, а потом k.
То есть:
m − (n + k) = m − n − k

4. Свойство вычитания числа из суммы (два случая):
− Если из суммы (m + n) вычесть k, можно это представить двумя способами:
1. (m + n) − k = m + (n − k), если n ≥ k
2. (m + n) − k = (m − k) + n, если m ≥ k

На рисунках показано, что путь по координатному лучу будет одинаковым.

5. Свойство нуля при вычитании:
m − 0 = m (если ничего не вычитаем, остаёмся на месте)
m − m = 0 (если вычитаем всё число, возвращаемся в 0)

Оба свойства также наглядно показаны на рисунках: движение либо отсутствует, либо возвращает нас в начало координат.

Вывод:
Каждое свойство сложения и вычитания можно наглядно представить на координатном луче, откладывая отрезки влево или вправо. Это помогает лучше понять, как работают арифметические действия и их свойства.