На рисунке 4.36 изображен план квадратного участка, по углам которого растут четыре больших дерева. Владельцы участка хотят увеличить его площадь вдове так, чтобы деревья остались вне участка и участок остался квадратым. Возможно ли это сделать?

Для решения этой задачи нам понадобится вспомнить несколько важных понятий из геометрии:

1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые (90 градусов).
2. Площадь квадрата − это пространство, которое он занимает. Чтобы найти площадь квадрата, нужно умножить длину одной его стороны на саму себя (то есть возвести длину стороны в квадрат). Если сторона квадрата равна a, то его площадь равна a * a = a².
3. Увеличение площади вдвое − это значит, что новая площадь должна быть в два раза больше, чем исходная. Если исходная площадь была S, то новая площадь должна быть 2 * S.

Теперь, когда мы вспомнили основные понятия, давай подумаем, как можно увеличить квадратный участок так, чтобы его площадь стала в два раза больше, и при этом деревья остались снаружи нового участка.

Представим, что у нас есть квадрат. Чтобы увеличить его площадь вдвое, можно построить новый квадрат, повернув его на 45 градусов относительно исходного квадрата, как показано на рисунке. При этом вершины исходного квадрата должны оказаться на серединах сторон нового квадрата.

Решение:

Да, это возможно. Как показано на втором рисунке, можно построить новый квадрат так, чтобы старый квадрат оказался внутри него, а деревья остались вне нового участка. Новый квадрат повернут на 45 градусов относительно старого.

Объяснение, почему это работает:

Представь себе маленький квадрат. Теперь построй вокруг него квадрат побольше, повернув его на 45 градусов. Обрати внимание, что каждый угол маленького квадрата касается середины стороны большого квадрата.

Можно доказать, что площадь большого квадрата ровно в два раза больше площади маленького квадрата. Это связано с тем, что вокруг маленького квадрата образуются четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Если сложить эти треугольники вместе, то получится еще один квадрат, равный по площади маленькому квадрату. Таким образом, площадь большого квадрата состоит из площади маленького квадрата и площади четырех треугольников (которые вместе составляют еще один маленький квадрат).

Поэтому, если мы построим новый квадрат таким образом, как показано на рисунке, мы увеличим площадь участка ровно в два раза, и деревья останутся снаружи нового квадратного участка.